無重力について、または自由落下について

質問

​http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1329804603​
この質問の補足部分と回答がほしいです。

また​http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1129882221​
こちらのベストアンサーの方の回答から考えると、中の人は、宇宙船の重心と重なる位置にいないと力を受けるということでしょうか
（宇宙船の重心より内側では飛行士は内側に引き付けられ、宇宙船の重心より外側では飛行士は外側に押し付けられる力が働きます。このような力を潮汐力と呼びます。より）

回答No.4

mtaka2 · ベストアンサー

回答1のものです。

> ではシャトルも無重量なのでしょうか？

無重量かどうかは相対的な概念ですが、その基準としてなるのは「シャトルとその中身全体の重心」の運動です。

で、この「全体の重心」との位置関係を考えると、、
中の人が無重量なのと同様に、シャトルを構成する各部品も無重量状態にあります。
シャトルの部品同士の間には、重力に基づいた力は働きません。
それを総じて考えれば、シャトルも無重量であると言えるでしょう。

> √(1+x) ≒ 1+1/2 x

説明不足ですみません。これは、1 に比べて、x が十分に小さい場合での近似式です。
たとえば、x = 0.001 だとすれば、
√(1+x) = √1.001 = 1.0004999
1 + 1/2 x = 1+0.0005 = 1.0005
となります。

ですから、この近似は「tが十分に小さい場合」にのみ成り立つ式です。
実際には、t=0への極限を取った「微分」という形で、「位置の変化から速度、速度の変化から加速度を求める」ことになりますが、
そういった極限を取った状況では、この近似は近似ではなく正確に一致します。

なお、この近似式の算出原理ですが、これは、√x の x=1 におけるテイラー展開の1次項までを用いることによるものです。

あと、ちょっとだけ訂正と補足。
回答3で「朝夕力」とありますが、「潮汐力」の書き間違いです。すみません。
で、この「潮汐力」のもとになるのは、「重力は遠くほど小さくなる」ことによるものですので、衛星軌道周回ではない、真下に落ちるフリーフォールな自由落下の場合でも、潮汐力は発生します。

お礼

まさかマクローリン展開が出てくるとは思いませんでした……
今ものすごく物理が楽しいです！
こんなにも丁寧にお答えくださりありがとうございました！！！

回答No.3

mtaka2

回答1の者です。
最後に、朝夕力について。
今までの計算では、重力加速度は「g」という定数で考えていましたが、
重力加速度が「g」になるのは、地球表面だけでの話であり、
実際には万有引力は距離の二乗に反比例し地球から離れるほどと小さくなり、
一定ではありません。
そのため、数式はもっと複雑になります。

詳しい計算は省きますが、万有引力定数 G を用いて、
物体にかかる重力加速度は、a = G M / X(0)^2 になります。
これを g の変わりに代入すると、シャトルの高さX(t)は、
X(t) = X(0) - 1/2 G M / X(0)^2 t^2 + V^2 t^2 / (2 X(0))
になります。また、これが一定になるような、円運動を描く時の周回速度Vは
V =√(G M / X(0))
となります。

一方、人の位置をx(t)とすると、上述の式と同様にして
x(t) = x(0) - 1/2 G M / x(0)^2 t^2 + V^2 t^2 / (2 x(0))
となります。ただし、人はシャトルと同じ速度で動いているので、Vは、
V =√(G M / X(0))
で変わりません。これを代入しすると、
x(t) = x(0) - 1/2 G M / x(0)^2 t^2 + G M / X(0) t^2 / (2 x(0))
となりますこれは、シャトルからの相対位置 x'(0) = x(0) - X(0) を用いて、
x(t) = x(0) - 1/2 G M / (X(0) + x'(0))^2 t^2 + G M / X(0) t^2 / (2 (X(0) + x'(0))
≒ x(0) + 1/2 G M x'(0) / X(0)^3 t^2
となります。

つまり、[人] は、G M x'(0) / X(0)^3 の加速度で運動しているように見えることになります。
F=ma に当てはめるなら、質量mの人は、m G M x'(0) / X(0)^3 の力がかかっているかの用に見えることになります。
これが見かけの力「朝夕力」です。
朝夕力は、シャトルの重心からちょっとでも高さがずれると、そのずれ方に比例して
シャトル重心より下に居ると下向きに、
シャトル重心より上に居ると上向きに、
力がかかっているような感じで、引き離される方向に働く力となります。

補足

ここまでこれほど丁寧に解説してくださって本当にありがとうございます。
もしよろしければ上記２つの補足に答えていただけるとありがたいです。

回答No.2

mtaka2

回答1の者です。
先ほどは、垂直方向のみについて考えましたが、次に水平方向の運動についても考えます。
水平方向のシャトルおよび人の位置をY(t)、y(t)とします。
水平方向の初速度Vとすると、これはいわゆる「水平投射」です。
いわゆる「平らな世界」での運動を考えた場合、
このとき、水平方向の位置と垂直方向の位置は別々に計算することができますから、
Y(t) = Y(0) + Vt
y(t) = y(0) + Vt
になります。この場合も、シャトルからの相対的な水平方向の位置をy'(t)とすると、
y'(t) = Y(t) - y(t) = (Y(0) + Vt) - (y(0) + Vt) = Y(0) - y(0) = y'(0)
となり、水平方向にも、見かけ上は、どこからも力が加わっていないように見えることになります。

最後に、「衛星軌道での周回」について考えます。分かりやすく「円軌道」を想定します。
「平らな世界」では、垂直方向と水平方向は分けて考えることができましたが、
円軌道を周回していると、ちょっと話が変わってきます。

円の一端から、接線方向に移動していくと、中心からの距離はどんどん離れていきます。
つまり、「丸い世界」では、水平運動をすると、高さがどんどん高くなっていきます。
重力がない場合、時刻tにおける高さは、
X(t) ^ 2 = X(0)^2 + (V t)^2
になります。(辺の長さが X(0) と Vt な直角三角形の斜辺の長さがX(t)になります)
tが十分に小さい場合を考えると、
X(t) = X(0) + V^2 t^2 / (2 X(0))
になります。(√(1+x) ≒ 1+1/2 x を使ってます)

一方、自由落下の方では、高さはどんどん低くなっていきます。
これがちょうど釣り合っていると、自由落下し続けながらも、シャトルの高さはまったく変わらない、ということになります。
これが、宇宙でのシャトルの中で「無重量状態」が発生している状況です。

上記 X(t) の式に自由落下分を追加すると、
X(t) = X(0) - 1/2 g t^2 + V^2 t^2 / (2 X(0))
となります。このX(t)が常にX(0)と等しくなるわけですから、

-1/2 g t^2 + V^2 t^2 / (2 X(0)) = 0
です。
これを解くと、
V = √(g X(0))
になります。つまり、ちょうど「円運動」になるような周回速度Vは、高さから自動的に求まることになります。

補足

馬鹿で申し訳ないのですが
＞tが十分に小さい場合を考えると、
＞X(t) = X(0) + V^2 t^2 / (2 X(0))
＞になります。(√(1+x) ≒ 1+1/2 x を使ってます)
がよくわかりません。
√(1+x) ≒ 1+1/2 xは、例えばｘ＝１００だとすれば
左辺≒１０
右辺＝１＋１/（２×１００）＝１.００なんとかで合いません。
ｘが分子にあったとしても
右辺＝１＋１００/２＝５１でやはり合いません。

文字式の式変形だけの解説だけでもよいのでお手数ですが教えていただけますか。

回答No.1

mtaka2

「宇宙船が周回している」という部分が考慮されていないように見受けられます。
いわゆる「フリーフォール」状態ですね。

で、まずはこの「フリーフォール状態」での数式について。

・時刻0での、[シャトル]の重心位置を高さX0、[人]の重心位置を高さx0 とします。
・時刻0での、シャトル及び人の速度は0とします。

このとき、シャトルおよび人の、時刻tにおける位置X(t)およびx(t)は、
X(t)=X0-1/2 g t^2
x(t)=x0-1/2 g t^2
になります。

で、[人]の[シャトル]との相対位置を x'(t) とすると、
x'(t) = X(t) - x(t) = (X0-1/2 g t^2) - (x0-1/2 g t^2) = X0 - x0
になります。
つまり、[人]の[シャトル]との相対位置関係は時間が経過しても全く変わりません。
これは、シャトル内の人から見ると、見かけ上は、どこからも力が加わっていないように見える
(位置が変わらない→速度はずっと0のまま→加速度もずっと0のまま→F=ma から、Fもずっと0のまま)
ということになります。

これが、自由落下中は無重量状態になる、ということです。

補足

ひとつ変な質問をさせていただきます。
人は相対的な位置がシャトルの空間内では変わりません。
よって見かけ上無重力だとわかりました。

ではシャトルも無重量なのでしょうか？
シャトル自身は確かに落下し続けています。
いうなれば人は動く座標系の中にいて、シャトルは止まった座標系にいます。
ならばシャトルは無重量ではないのでしょうか？

またもしシャトルが無重量でないのなら、自由落下は（空気抵抗を考えないとして）人であれば内臓は無重量でも皮膚から上は無重量状態ではないことになりませんか？
そうすると自由落下＝無重力と世間で言われているのうそ、あるいは移動する座標系のみが対象ということでしょうか？