正五角形の証明

質問

まっすぐで平行な帯状の紙で結び目をつくると、結び目は五角形になります。
これは、たぶん正五角形だと思いますが、このことを数学的に証明することはできるのでしょうか。

あまり難しいことはわからないので、「できる」、「できない」だけの回答でも結構です。

回答No.7

oshiete_goo · ベストアンサー

＃５のoshiete_gooです．
＃６で訂正の通り，＃５の仮定は強すぎて誤りでした．
お詫びして撤回させていただきます．

結果としては残りの１組の平行も実は示せるのですが，その距離が他の平行線と同じになることが容易には示せないので，この方針はまずいようです．

ただし，＃６で触れたような置きかたをすると，全て左右対称ということが示せて，この回答ではそれを前提にして議論します．

元の五角形ＡＢＣＤＥで三角形ＡＣＤをＣＤのところで展開して伸ばすと菱形ＡＣＡ'Ｄができて，折れ線Ａ'ＣＢとＡ'ＤＥはそれぞれ直線になります．
（証明は略しますが，もともと直線を折り曲げて作った図形を逆に展開しているので，実はあたりまえ．）

そこで，以下のように考えます．

ｘｙ平面上に二等辺三角形ＡＢＣがあり，Ａ(0，－1)，Ｂ(－Ｌ，0)，Ｃ(Ｌ，０)とします．
これは高さ１の二等辺三角形を考えていることに相当しますが，底辺ＢＣ＝２Ｌとしているので，図形的性質を議論する分には一般性を失っていません．(あとで相似を保って拡大・縮小すればよい．)

この二等辺三角形ＡＢＣをｘ軸に平行に頂点Ａから距離ｔ
（1/2<t<1）のところで折り返します．

つまりｙ＝－(1－ｔ)で折り返して頂点ＡがＡ'(０，－(1－ｔ)＋ｔ)＝(０，2t－1)にくるようにします．

このとき，ＡＢ，ＡＣとｙ＝－(1－ｔ)との交点をそれぞれ
Ｄ，Ｅとすると，三角形の相似を考えてＤ(－ｔＬ,－(1－ｔ))，Ｅ(ｔＬ,－(1－ｔ))です．

ここで五角形Ａ'ＢＤＥＣはｙ軸対称で，当然ＢＣ//ＤＥを満たします．
この五角形がＡ'Ｂ//ＣＤ（またはＡ'Ｃ//ＢＥでも良いが，ｙ軸対称性から一方で十分）を満たす条件を考えると，
Ａ'Ｂの傾き＝(2t－1)/L
ＣＤの傾き＝(1-t)／{Ｌ－(－ｔＬ)}＝(1-t)／{(1+t)Ｌ}

両者の平行の条件は　(2t－1)/L＝(1－t)／{(1＋t)Ｌ}

整理して　(2t－1)(1＋t)＝1－t
⇔2t^2＋ｔ－1＝1－ｔ
⇔t^2＋t－1＝０
これを解いて　ｔ＝(-1＋√5)／2 (∵1/2＜ｔ＜１)
これは黄金比そのものです．

またこのとき
Ａ'Ｄの傾き＝ｔ／(ｔＬ)＝1／Ｌ
ＣＥの傾き＝(1－ｔ)／(Ｌ－ｔＬ)＝1／Ｌ
で，Ａ'Ｄ//ＣＥ，ｙ軸対称性よりＡ'Ｅ//ＢＤも満たすことがいえます．
まだＬの決定はしていませんが，平行な５組の線分のうち４組は間隔が一定（テープの幅ｄ）ということからおそらく決定できるものと期待します．

正五角形ならば題意を満たすことは明らかなので，途中の議論に不備がなければ予想は成立しそうですが，
皆様なにとぞ検証とご報告をお願いします．

また，もっとましな議論があればお教え下さい．

お礼

とてもご丁寧な回答をどうもありがとうございました。
後でゆっくりと読んで理解したいと思います。

回答No.8

oshiete_goo

＃７の続報です．結論は「できる」です．

題意より，実際テープを折ってみると，５個の頂点のうち４個の頂点に対しては，それぞれと平行な対角線（テープの一部の直線）があり，これら平行線４組の間隔がテープの幅ｄに等しいことのみを仮定して，（他の１組の平行などは仮定せずに）正５角形が示せます．

＃６で触れたように「点Ａが真上に来て左右にテープが下方に広がる置き方」をすると，図形的に左右対称が証明できます．
[補足]＃６では左右「対称」に置くという書き方をしましたが，最初から対称性を仮定したわけではありません．

さて＃７の議論に引き続いて計算すると，

＃７で出てきた長さＬ(５角形の対角線の１つが２Ｌ→結局全部等しいですが)
L＝√{(5－2√5)／5}
全ての辺ａは
ａ＝√{(50－22√5)／5}
このときのテープの幅ｄ
ｄ＝１－α＝(3－√5)／2
で，確かに正５角形になります．
(特定の長さ(高さ１の２等辺３角形)から出発しましたが，もちろん相似で図形的結果は一般にそのままいえます．)

ただし，α＝(√5－1)／2 は黄金比を表すとします．

ここではどん臭い計算でやりましたが，もっとスマートな議論をご存知の方があれば，なにとぞご回答下さい．
（後学のため，締め切り後でも追加回答の形でお教え下さると有難く思います．）

回答No.6

oshiete_goo

＃５です．
訂正で，仮定が強すぎて，最後の1組の平行は自明ではないですね．
（例えば点Ａが真上に来て左右対称にテープが下方に広がる置き方だとＢＥ//ＣＤはいえない．）
この点をもっと詰めますので，しばらくご猶予下さい．
失礼しました．

回答No.5

oshiete_goo

条件を満たす五角形が正五角形であることを示す．
[証]
仮定として，五角形ＡＢＣＤＥの対角線をすべて引くと
ＡＢ//ＥＣ，ＢＣ//ＡＤ，ＣＤ//ＢＥ，ＤＥ//ＣＡ，ＥＡ//ＤＢ
が成り立つのみならず，これらの互いに平行な２線分間の距離は一定値(テープの幅ｄ)に等しい．

ここで任意の辺，例えば辺ＡＢに注目して，直線ＢＣに点Ａから下ろした垂線の足を
Ｈ1，直線ＡＥに点Ｂから下ろした垂線の足をＨ2とする．

（注：なお，五角形ＡＢＣＤＥは凸多角形であることは承認することにする．そうすると△ＡＢＨ1と△ＢＡＨ2はどちらも五角形ＡＢＣＤＥの外部にできる．）

そうすると
△ＡＢＨ1≡△ＢＡＨ2
（∵斜辺ＡＢを共有する直角三角形で，他の１辺が　ＡＨ1＝ＢＨ2＝ｄ　で等しい）

すると対応する角は等しく，　∠ＡＢＨ1＝∠ＢＡＨ2

それぞれを180°から引いた残りを考えて（外角が等しいので）
∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＥ

よって同様にして隣り合う２つの内角はすべて互いに等しいことが言えるので，五角形ＡＢＣＤＥは全ての内角が等しく，正五角形である．（証明おわり）

回答No.4

s99a137e2002

「正五角形になるときはあるが、一般的にはならない」が、答えだと思います。

帯の幅を r 、五角形の内角を θ とすると、五角形の一辺の長さは、 r/cos(θ-90) (90＜θ＜180) となり、各辺の長さは、θ によって決まるわけです。

よって、正五角形となるのは、
　「すべての辺の長さが等しい」
ときなので、
　「すべての内角が等しい」
即ち、
　「五角形の内角が540度であることより、すべての角が108度」
の時だけとなる。
だから、いつも正五角形にはならないと思います。

ただ、ひとつ問題なのは、
　「この帯は、常に一角が108度になる」
かもしれないということです。その可能性があるか、これから考えてみます。

補足

きちんとした結び目をつくると、常に正五角形になるような気がするのですが。

回答No.3

liar_adan

「結び目が正五角形になる」ではなくて、
「きっちりした結び目が正五角形になる」という問題ですね。
できると思います。

紙の結び目を絵に描いて考えてみると、
「正五角形に結べれば、きっちりしている」ことはわかります。

では、「正五角形になってなければ、きっちりした結び方になっていない」ことを証明すればいいでしょう。

きっちり結ぶ過程を考えてみると、
まず、五角形の底辺(？)で紙テープを、なす角が36度になるように折り曲げます。
これが36度でないとどうなるか、そのとききっちりなるかならないかを考えてみればいいでしょう。

補足

紙テープを、なす角が36度になるように折り曲げた時、重なった五角形の一辺の長さと同じように次の辺を決め、３６度で次々に折り曲げた時に、最後の辺が最初の角の所で上手く一致すればよいわけですね。
何となく感じがつかめてきました。

回答No.2

eatern27

正五角形になる事は証明できません。
そのかわりに「結び目が正五角形になる」が間違いであることが証明できます。

実際にやってみたら、確かに正五角形っぽくなることはありました。しかし、正五角形っぽくならないこともあります。したがって、結び目が正五角形になる」は間違いです。
(私が不器用なだけでは?というツッコミはご勘弁を)

でも、綺麗に結んだら、正五角形になるかもしれませんね。(それが正しいのかも証明できるのかも知りませんが)

補足

確かに綺麗に結ぶと、正五角形になるような気がします。

回答No.1

wolv

きっとできます。時間のあるときにやってみます。

補足

よろしくお願いします。