• ベストアンサー
  • 困ってます

対称式の問題です

x + y + z = 1/x + 1/y + 1/z = 1 のとき、 (x + y)(y + z)(z + x) の値はどうやって求めるのでしょうか? この答えが 0 となるらしいのですが、 なぜ 0 になるのかが分からないので、 誰か詳しい説明をお願いします>< ※ 1/x は x分の1 という意味です。           

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数32
  • ありがとう数2

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2

まぁ、確かに幾つか方法はある。 分母を払うと、x+y+z=1、xy+zx+yz=xyz ‥‥(1) と、ここまでは同じ。 (解法-1) P=(x + y)(y + z)(z + x)=(1-z)(1-x)(1-y)=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-(xyz)=0 何故なら、(1)による。 (解法-2) xy+zx+yz=xyz=kとすると、 (1)から、x、y、zは t^3-t^2+kt-k=0の3つの解。 この方程式は (t-1)(t^2+k)=0であるから、x、y、zのうち どれかは1に等しい。 従って、P=(x + y)(y + z)(z + x)=(1-z)(1-x)(1-y)=0.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

詳しい解法を教えていただき、ありがとうございます! 自分的には、解法1のやり方が分かりやすかったです。

関連するQ&A

  • 対称式の問題ですが・・・

    abc≠0  , a+b+c=0 , a^2+b^2+c^2=1 , bc+ca+ab=-1/2 とする。 このとき、 a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b) の値を求めよ。 という問題で、答えは【-3】となるらしいのですが、 求め方が全然分からないので詳しい求め方を教えてもらえないでしょうか? ちなみに、 1/b は、b分の1 という意味です。

  • 対称式

    こんにちは。 よろしくお願いいたします」。 x+y+z=2√3,xy+yz+zx=-3 xyz=-6√3 を満たす実数x,y,zについて次の式の値を求めよ。 (1)x^2/yz+y^2/zx+z^2/xy (2)x^4+y^4+z^4 (1)はできたのですが、(2)がとき方すらわかりません。 答えは(1)-4,(2)162 です。 教えてください。 よろしくお願いいたします。

  • 【対称式の問題】

    (1)a^2+b^2+c^2=1をみたす複素数a.b.c.に対して x=a+b+cとおく。 このとき、ab+bc+caのxの2次式で表せ。 (2)a^2+b^2+c^2=1,a^3+b^3+c^3=0,abc=3 をすべて満たす複素数a,b,cに対してx=a+b+cとおく。 このとき、x^3-3xの値は? 答えがないので困ってます(><) (1)は1/2(x^2-1)で正しいですか? (2)がいまいちわかりません 解ける方いらっしゃいましたら、 解説お願いします。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

いろいろあるけど, とりあえず x + y + z = 1 と (1/x + 1/y + 1/z = 1 より) xy + yz + zx = xyz であることからなんとかすることになりますね. で, 1つの方法は (x+y)(y+z)(z+x) が x, y, z の対称式だから x+y+z, xy+yz+zx, xyz で書く. もう 1つは上の式から x, y, z を解とする 3次方程式を導くというもの. 結果として x, y, z のいずれかが 1 であることがわかります. つまり x+y, y+z, z+x の少なくとも 1つは 0 です.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

なるほど…。 確かに、 xy + yz + zx = xyz となりますね。 この関係を使えば解くことができました! ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 対称式がわからない

    高校の宿題で a=1-√3/1+√3 b=1+√3/1√3 のとき、次の値を求めよ a⁵+a³b²+a²b³+b⁵ (a5乗+a3乗b2乗+a2乗b3乗+b5乗) という問題が出たのですがわかりません どなたか途中式を含めて回答お願いします。 ちなみに / は分数という意味で、 1/3だと 三分の一 です。

  • 対称式

    こんばんは。 よろしくお願いいたします。 x=2+√5,y=2+√3, z=-(√5+√3)/2のとき、次の式の値を求める問題で質問があります。 1/x^3+1/y^3+1/z^3-3/(xyz) 私は a=1/x, b=1/y c=1/zとおいて、 a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abcの法則を使って説いたのですが、解答は[0]らしいので最後に3abcをかけたらおかしいなと思いました。 どういった考えをすればよいでしょうか。 よろしくお願いいたします。

  • 対称式と交代式・・・・・・

    対称式と交代式ってなんですか?? 先生が対称式と交代式の性質は因数分解や 式の値を求めることに用いると便利と いってたんで知りたくなりました。。 誰か詳しくかつ、わかりやすく教えていただ けませんでしょうか??お願いします。。

  • 対称式 数学I

    正の数a,b,cがa+c=2bを満たすとき 1/(√a+√b)+1/(√b+√c)-2/(√c+√a) の値をもとめよ という問題があるのですが・・・答えは0になるらしいのですがまったくわかりません 分母をb^2-acにあわせるところまでできたのですが・・ よろしくおねがいいたします

  • 3文字の対称式

    こんばんは。 よろしくお願いいたします。 x+y+z=xy+yz+zx=2√2+1,xyz=1を満たす実数x,y,zにたいして次の式の値を求めよ。 (1)1/x+1/y+1/z (2)x^2+y^2+z^2 (3)x^3+y^3+z^3 長い時間考えたのですが、x+y+zを分数に変えてみたりいろいろしたのですが、数学が苦手なためうまくいきませんでした。。 答えはそれぞれ (1)2√2+1 (2)7(3)10√2+1 です。 解法がまったくといってよいほど思い浮かびません。 教えてください。よろしくお願いいたします。

  • 対称式

    3次式:: x^3 + px^2 + qx + r = 0 の解を a, b, cとした時、 {(a - b)(b - c)(c - a)}^2 を p, q , rを用いて書きたいのですが、上手く計算が出来ないので、誰か教えてください。

  • 対称式

    x=1-√3,y=1+√3のとき,y/x+x^2+y^2+x/yの値を求めよ。 で、 (1)y/x+x^2+y^2+x/yが,y^2+x^2/xy +x^2+y^2になる理由。なぜ二乗が2つになっているのですか。これが、対称式でyx,xyとx^2+y^2を入れ替えたのなら、なぜx^2+y^2/x^2+y^2 +xyにならないのですか。 (2)(1+ 1/xy){(x+y)^2-2xy}になる理由を教えて下さい。 {(x+y)^2-2xy}は、基本対称式でx^2+y^2だと分かりますが、なぜy^2+x^2/xyが(1+ 1/xy)になるのか分かりません。

  • 対称式の値

    対称式の問題で、 x=√5+2,y=√5-2のとき、x+yの値が2√5になる意味が分かりません。 普通に計算すると、 x+y=(√5+2)+(√5-2) =√5+2+√5-2 =√10 になります。 何が間違っているのでしょうか教えて下さい。

  • 対称式について

    数学の対象式について質問です。   a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc という対称式を、3文字の基本対象式である   a+b+c   ab+bc+ca   abc で示すとどのようになりますか? ちなみに、問題自体は「因数分解せよ。」というもので   (a+b)(b+c)(c+a) が答えでした。 気になって計算してみたのですが、どうしても示すことができなかったので質問しました。 よろしくお願いします。

  • 数学の対称式の問題です。助けてください。

    数学の宿題であったこの問題を解いてください。 (1) x+y+z=-3, xy+yz+zx=2, xyz=1のとき 次の値を求めよ。 (1) x^10+y^10+z^10 私の数学の先生が中学生のとき考えた問題だそうです。 その先生を見返したいので助けてください。 お願いします!! 明日板書しないといけないので 大至急お願いします!!!