対称式の問題です

質問

x + y + z = 1/x + 1/y + 1/z = 1 のとき、

(x + y)(y + z)(z + x) の値はどうやって求めるのでしょうか？

この答えが ０ となるらしいのですが、
なぜ ０ になるのかが分からないので、
誰か詳しい説明をお願いします＞＜

※　1/x は x分の1　という意味です。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

まぁ、確かに幾つか方法はある。

分母を払うと、x＋y＋z＝1、xy＋zx＋yz＝xyz　‥‥(1)　と、ここまでは同じ。

(解法-1)

Ｐ＝(x + y)(y + z)(z + x)＝(1-z)(1-x)(1-y)＝1-(x＋y＋z)＋(xy＋yz＋zx)-(xyz)＝0　何故なら、(1)による。

(解法-2)
xy＋zx＋yz＝xyz＝kとすると、　(1)から、x、y、zは　t＾3-t＾2＋kt-k＝0の3つの解。
この方程式は　(t-1)(t＾2＋k)＝0であるから、x、y、zのうち　どれかは1に等しい。
従って、Ｐ＝(x + y)(y + z)(z + x)＝(1-z)(1-x)(1-y)＝0.

お礼

詳しい解法を教えていただき、ありがとうございます！
自分的には、解法1のやり方が分かりやすかったです。

回答No.1

Tacosan

いろいろあるけど, とりあえず x + y + z = 1 と (1/x + 1/y + 1/z = 1 より) xy + yz + zx = xyz であることからなんとかすることになりますね.
で, 1つの方法は (x+y)(y+z)(z+x) が x, y, z の対称式だから x+y+z, xy+yz+zx, xyz で書く.
もう 1つは上の式から x, y, z を解とする 3次方程式を導くというもの. 結果として x, y, z のいずれかが 1 であることがわかります. つまり x+y, y+z, z+x の少なくとも 1つは 0 です.

お礼

なるほど…。
確かに、 xy + yz + zx = xyz となりますね。
この関係を使えば解くことができました！

ありがとうございました。