定義とFFTで導出した自己相関が違います

質問

ある離散信号x(t)の自己相関を求める際に
「定義通りにf(τ)=Σx(t)x(t-τ)で求めた結果」と
「xをFFTしてパワースペクトルを求めて，その逆FFTで求めた結果」
が異なるのですが，当たり前のことでしょうか？

自己相関の畳み込みはFFTの掛け算と同じだと理解していたのですが．．．

御教授のほどお願いします．

回答No.1

stomachman

> 自己相関の畳み込みはFFTの掛け算と同じだと理解

　実数値関数x(t)のFFTがX(ω)であるとき、x(-t)のFFTはX'(ω)(ただし、X'はXの複素共役)、そしてパワースペクトルP(ω)は
P(ω)=X(ω)X'(ω) 　
です。
f(τ)=Σx(t)x(t-τ)=x(τ)*x(-τ)　(ただし * はconvolution）
のFFTをF(ω)とすると、convolution定理により
F(ω)=X(ω)X'(ω)
なので確かに
P=F
　にも関わらず旨く行かない理由として考えられるのは、xの台の幅がN（その範囲より外のサンプルは全部0)なら、fの台の幅は2N-1になるんで、FFTは2N-1よりも大きい周期を持つ必要がある、という事をお忘れなのかも。