微分積分について

質問

円の面積を微分すると円周になり、円周を積分すると円の面積になりますが、なぜそのようになるのかを簡単に分かりやすく教えて頂けないでしょうか？

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

木の断面の年輪や、バームクーヘンの断面の模様を想像してください。
そして、その年輪の１本１本を、輪投げの輪だと思ってください。
そして、中心から順に、輪の長さ（円周）を考えると、
中心から、最外郭の円周に向かうにしたがって、輪投げの輪の長さ（円周）は長くなっていきます。
そのとき、中心からの距離と輪の長さには比例関係が成り立ちます。

つまり、
１本の輪の長さ　∝　中心からの距離
１本の輪の長さ　＝　定数　×　中心からの距離
です。

中心からの距離がｒのとき、輪の長さは　２πｒ　です。
これを使って上記の式を書き直すと、
１本の輪の長さ　＝　２π×ｒ
となります。

そして、今度は、１個１個の輪の太さを考えます。
輪の太さ方向は、どの角度から見ても半径方向と同じなので、
輪の太さ　＝　ｄｒ
と置くことができます。

よって、１本の輪の面積は、２π×ｒ×ｄｒ　＝　２πｒｄｒ　となります。

全ての輪の面積を足せば、円の面積になります。
つまり、ｒ＝０　から　ｒ＝最外周の半径　まで足し算（積分）すると、
円の面積になります。

∫[r=0→最外周半径]　２πｒｄｒ
　＝　２π・∫[r=0→最外周半径]　ｒｄｒ
　＝　２π・［ｒ^2／２］[r=0→最外周半径]
　＝　２π・［最外周半径^2／２　－　０^2／２］
　＝　２π・最外周半径^2／２
　＝　π・最外周半径^2

となります。

これは、球の体積にも応用できて、
ピンポン玉のように、中身が空で、厚さｄｒの薄皮の球を、（中心から最外郭に向かって）小さいものから大きいものまで考えれば、
薄皮の球の表面積　４πｒ^2　に厚さ　ｄｒ　を　かけて、
ｒ＝０　から　ｒ＝球の半径　まで積分して、
球の体積　＝　∫[r=0→球の半径]４πｒ^2ｄｒ
　＝　４／３・π・球の半径^3
というふうに公式が導けます。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

大変詳しい御回答をいただきありがとうございます。分かりやすくて非常に参考になりました。

回答No.2

noname#160321

家人が筑波大の後期の試験で英文数学の問題にこいつが出たそうです。
微積どちらも同じですが微分の方が簡単なので、
いま中心からｒ離れた円を描きます。
この面積はπｒ^2です。
さらにｒに比して非常に小さい値Δｒだけrより大きい半径の円を描きます。
この面積はπ(ｒ＋Δｒ)^2です。
この二つの円に挟まれた平面の面積は、
π(ｒ^2 ＋ ２ｒΔｒ ＋ Δｒ^2)
になります。
今Δｒ<<ｒと決めたので、第3項は無視できます。
この面積がどれだけ増えたか考えると、
πｒ^2 ＋ ２ｒπΔｒ － πｒ^2 ＝ ２ｒπΔｒ
ｒ>>Δｒなのでこの面積は幅Δｒ長さｒの長方形の面積と見なすことが可能です。
つまり、半径ｒがΔｒ変化したときの面積の変化は２ｒπΔｒ
ですから、円周の長さは２ｒπΔｒ/Δｒ=2πｒ

お礼

大変詳しい御回答をいただきありがとうございます。分かりやすくて非常に参考になりました。

回答No.1

noname#96417

内径 r、外径 r + dr (dr << r) の円環の面積 dS が
dS ≒ 2 π r dr = 円周 × dr
であるから、というのでは説明になっていませんか？

お礼

御回答をいただきありがとうございました。参考になりました。