rankを求める問題です。

質問

次の行列の階数を求めてください。

普通に、上三角行列の形にしようと思ったのですが、xやyがぐちゃぐちゃになってしまい行き詰ってしまいました。

他によい方法はあるのでしょうか？

回答No.3

PRFRD · ベストアンサー

基本的には頑張るしかないですが，機械的に上三角にしようとするのではなく，
計算しやすそうなところをしやすそうな順番で計算するのがコツです．
特に，元の行列が対称行列の場合，それを保つと幸せなケースが多いです．

まず，
　|1 y 1 x|
　|y 1 x 1|
　|1 x 1 y|
　|x 1 y 1|
の1行目と3行目，2行目と4行目を加減して
　|1 y　1　x|
　|y 1　x　1|
　|0 u　0 -u|
　|u 0 -u　0|
とします（見易さのため x-y = u と置いた）．
さらに1列目と3列目，2列目と4列目を加減して
　|1 y 　0 　u|
　|y 1 　u 　0|
　|0 u 　0 -2u|
　|u 0 -2u 　0|
とします（元の行列が対称なので対称になるようにした）．
1・2行目を2倍して
　| 2 2y 　0　2u|
　|2y　2　2u 　0|
　| 0　u 　0 -2u|
　| u　0 -2u 　0|
としておき，3行目と1行目，4行目と2行目を加減して
　|2 v 　0 　0|
　|v 2 　0 　0|
　|0 u 　0 -2u|
　|u 0 -2u 　0|
とします（見易さのため x+y = v と置いた）．
さらに3列目・4列目を正規化し，3列目と1列目，4列目と2列目を加減して
　|2 v 0 0|
　|v 2 0 0|
　|0 0 0 u|
　|0 0 u 0|
とすれば，ブロック対角行列になります（ここでも対称行列になるようにした）．
ここまでの計算はランクを変えていません．

これのランクは左上ブロックと右下ブロックのランクの和なのでそれぞれ数えると．
左上ブロックについては
　|2 v| → | 2 v| → |2 　　v| → |2 　　0|
　|v 2|　　|2v 4|　　|0 4-v^2|　　|0 4-v^2|
と計算することで，v^2 = 4 のときに rank = 1, それ以外のとき rank = 2．
右下ブロックのランクは u=0 のとき rank = 0, それ以外のとき rank = 2．
よってまとめると
　・u = 0 かつ v^2 = 4 のとき rank = 1
　・u = 0 かつ v^2 ≠ 4 のとき rank = 2
　・u ≠ 0 かつ v^2 = 4 のとき rank = 3
　・u ≠ 0 かつ v^2 ≠ 4 のとき rank = 4
となります（u, v を展開して x, y で書くのは省略）．

回答No.2

jamf0421

No1です。寝ぼけてうっかり直交行列について書いているのと勘違いしていましたNo1の回答取り消します。すみません。

回答No.1

jamf0421

これって対称行列ですね。だから正則行列ですよね。