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重分積分の極座標変換について
info22の回答
- info22
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■各座標系の面積素(微小な面積を表す成分要素)dSがどう表されるかを考えて見てください。 直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。 横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので dS=dxdy ということです。 一方、極座標系では 半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向(円弧方向)の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ となります。 なので ∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ となるのです。 ●数式で扱う場合はヤコビ行列を使って座標変換ができます。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F この中の円座標の所が二次元の極座標のヤコビアン|J|の計算で |J|=rが出てきますのでこれを使って変数変換 dxdy=|J|drdθ=rdrdθ をします。 実際の計算は x=rcosθ,y=rsinθ から ヤコビ行列Jを求めて J= (∂x/∂r,∂x/∂θ) (∂y/∂r,∂y/∂θ) = (cosθ,-rsinθ) (sinθ,rcosθ) これからヤコビアン|J|を求めれば |J|= |cosθ,-rsinθ| |sinθ, rcosθ| =r(cos^2θ+sin^2θ)=r となりますので機械的に dxdy=|J|drdθ=rdrdθ と変数変換すればいいことになります。 ■で考えるか、●で考えるかは自由です。 直感的には面積素で考える■の方が覚えやすいかと思います。 XY座標から極座標への変換ではなく、もっと複雑な重積分(二変数、三変数の多重積分など)の変数変換では、ヤコビアンを使った方が間違いないでしょう。
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お礼
わかりやすい説明ありがとうございました! 参考にさせていただきます^^