• 締切済み

因数定理について教えてください

P(x)=x^3-7x+6　を因数定理を使って因数分解せよ。 〔解〕 P(1)=0　より P(x) は x-1 で割り切れる。 ゆえに P(x)=(x-1)(x^2+x+6) =(x-1)(x-2)(x+3) と例が載っているのですが、P(1)=0 の部分がわかりません。 解説には「定数項6の約数を順番に代入する」と説明が入っているのですが何故、定数項の約数を代入していくとP(x)=0 となるxがみつかるのですか？ 定数項の約数でない数を代入する必要はない、というのがなぜか分かりません。 それと、もし定数項が100や200など、大きい数だったらどうすればよいでしょうか。 P(x)=0となるxを見つけるのにかなり時間がかかってしまいますよね。 これは総当り式に代入していく以外に方法はないのですか？ 宜しくお願いします。

  • be_001
  • お礼率43% (125/286)

みんなの回答

  • kaede_h
  • ベストアンサー率47% (43/90)
回答No.3

着眼点は凄く良いですよ。 P(x)=(x-1)(x-2)(x+3)を例に考えてみます。 まず、P(x)の定数項はいくつですか？ P(x)=(x-1)(x^2+x+6)=x^3+5x-6 と展開していけば、 -6すなわち、-1*-2*+3 になるのがわかりますよね。 つまり、P(x)において定数項は最低次の項なので、 (x-1)(x-2)(x+3)のそれぞれの最低次の項を掛けてのみ作られるという事です。 このことから逆に、定数項が6であるなら、 "それを因数分解した際の定数項は6の因数だ"とわかるはずです。 ----------------- もしこの説明がわからなければこちらを参考にしてください。 2桁×2桁の掛け算をするとき、積の1の位は、それぞれの１の位の積で、 10の位はまったく関係ありません。 12*13=156 22*23=506 と、それぞれの1の位が2と3なら、必ず積の１の位は6になります。 なので逆に、"積の1の位が6である掛け算は、 必ず因数の1の位が、約数である1・6か2・3になる!！"とわかります。 ----------------------- ここまでの説明で、なぜ約数を取るのか・ 約数でない数はダメなのかが分かってもらえたと思います。 後はP(x)に代入すれば、 P(x)=(x-1)(x-2)(x+3)　←のどれかしらが0になるので、 P(x)=0となるわけですね。、 ＞定数項が100や200など、大きい数だったらどうすればよいでしょうか。 これについては、出来るだけ小さな約数から試して行きましょうとしか言えません。 ただ、計算をこなす事である程度"勘"が働くようになります。 最初のうちは計算ミスなども混じってかなりわかりにくいと思いますが、 そのうちへっちゃらになりますよ。 頑張ってください。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)
回答No.2

例えば、今回のP(x)が 　　P(x) = (x-a)(x-b)(x-c) と因数分解されるとして、右辺を展開すると 　　P(x) = x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc 右辺の定数項を元の式の定数項と比べることにより 　　-abc = 6 よって、a,b,cはどれも6の約数でなければならない。 逆に、aが6の約数でないときにP(a)=0となることはあり得ない。 後半について、 たしかに定数項が大きくなれば因数を見つけるのは大変になります。 そのために、多項式の因数分解をいくらか素早くするための「組み立て除法」という方法があります。 この方法を用いれば次数の高い式でもいくらか早く因数分解できます。 (ただし、あまり絶大な効果を期待してはいけません。 やっていることは普通に総当たりで数を代入するのと同じです。) あとはテクニックの問題ですが、3次の多項式などなら、なるべく小さな候補数から試していき、因数が一つ見つかった時点で元の式を因数分解してしまい、残り２つの因数を見つけるのには解の公式を使う方法もあります。 2次式ならば、やはり因数定理による因数分解よりも、解の公式やたすきがけを用いた因数分解の方が早いことが多いので。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

因数分解は四則演算でできるものが問題になっていると思えばよいでしょう。つまりP(x)の式で最後の6が５であれば有理数の範囲では分解できません。さて、できるとすれば、手がかりはというと、最も簡単な数からはじめるのがコツです。0はどうか。これは定数項が6故だめ、では1はどうか、－1はどうかという具合に絶対値を増やして試してみます。定数項が100や200は10×10、10×20のように10単位の数の積の場合が多いと思います。従って1次、２次の項にも１０が現れている可能性が大です。a=10として書きなおしてみると結局一桁の係数になる場合がほとんどです。問題をある程度やってみて感触をつかんでください。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 余剰の定理を用いた因数分解

    例えば、 2x^3 +x^2 +7x -4 = 0 の因数を(x-α)とし、余剰の定理を用いて因数分解しようとするとき、定数項の整数の約数の中に、αはありません。そんな時は、 ±(定数項の約数) / (最高次数項の係数の約数) でαが求められます(「求めることができることがある」が正確?)が、なぜこれで求めることができるのでしょうか？ 一見、最高次数項の定数項の約数と、定数項の約数にはなんの関係もないように思えます。よろしくお願いいたします。

  • 因数定理を利用した因数分解

    　因数定理を利用した因数分解 最高次の係数の約数ぶんの定数項の約数でわる数のこうほをみつけるのですが、候補がいくつも出てきてわかりません。 ここで、具体例を書きたいのですが、書き方がわかりません。 だれか、パソコンの入力方法を教えてもらえないでしょうか。 お願いします。

  • 因数分解

    【質問】なぜ、＋－1/2　か　＋－5/2 を代入してみるのですか。 （例題） P(x)=2x^3-3x^2-x-10　を因数分解してください。 解： P(5/2)=2×(5/2)^3-3×(5/2)^2-5/2-10 ※＋－1/2　か　＋－5/2 を代入してみる 　　　　=0 上記式を2x-5で割り算して、 ゆえに P(x)=(2x-5)(x^2+x+2) よろしくお願いしますm(--)m

  • 因数定理・因数分解

    整式Ｐ（ｘ）をｘ－２で割ると余りが５であり、その商をさらにｘ＋３で割ると、余りが３であった。Ｐをｘ＋３及び、ｘ＾２＋ｘ－６で割ったときの余りを求めよ という問題です。恐らく因数定理を用いるかと思いますが、ｘ＋３で割る方は１次式なので因数定理を用いて解きましたが、ｘ＾２＋ｘ－６の方は、因数分解して１次式に直すことまでは出来ましたが、その先をどうすれば良いのかが、わかりません よろしくお願いいたします

  • 因数定理の問題です

    こんにちは。因数定理について質問したいのですが。例えば次のように 「２x3＋x2＋x－１を因数分解せよ」という問題があったらP(A)＝０を探してそして因数分解をしますよね。 この場合参考書の回答によるとP(１/２)なのですが、僕はまだ数学的センスがないので、整数ばっかりをさがしてしまします。ここで質問なのですが、このような分数を見つける方法はありませんか？地道に探すしかないのでしょうか？

  • 因数定理、割り切れるとは？

    因数定理が理解不足です。 ウィキには f(x) = x3 + 4x2 + 3x － 2　とすると、f(－2) = 0 が成立するから f(x) は x － (－2) で割り切れる。 この割り切れるという意味がわかりません。 またこのような式は因数定理以外で因数分解の回答を導くことはできますか？ よろしくお願いします。

  • 因数定理について。

    整式f(x)を(x-1)^2で割ったときの余りは2x+1,x+2で割ったときの余りりは3であるとき，f(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの余りの求め方で質問があります。 余りをax^2+bx+cとおいて因数定理を用いるまでは分かるのですが，x=-1,x=2の2つを代入するまでしか分からず，a,b,cを求めるための式が2つしか出てきません。 このあとどのようにして解を求めていけば良いのでしょうか。 アドバイスよろしくお願いします。

  • 高次方程式が解けなくて困っています

    こんばんは。高校2年生の女子です。 今、高次方程式の問題を解いているのですが、どうしてもわからないことがあります。 数研出版のチャート式の中に書いてある解説なのですが、 「2x^3 - 9x^2 + 2は、定数項の2の約数±1、±2を代入しても0にならない。 そこで、2x^3 - 9x^2 + 2 = (2x + β)(x^2 + px + q) とすると、βは定数項の約数であり、kは-β/2すなわち±1/2、±1のどれか。」 と書いてあります。定数項の2の約数を代入しても０にならないところまでは理解できるのですが、そのあとが、どうしてそうなるのかが分かりません。教えてください。 ここで止まってしまって、先に進めません。本当に困っています。助けてください。

  • 二項定理を使う問題がわからない・・・・

    典型的なパターン問題のようですが理解できません。よろしくお願いします。 (1)(x^2-2/x)^6の展開式のx^6の係数と定数項を求めよ。 二項定理より一般項は　6Cr・(-2)^r・x^12-2r/x^rとなるのはわかります。しかし、「x^6の係数は12-2r=6+rなので」r=2というのがわかりません。 定数項も「定数項は12-2r=rなので」r=4というのがわかりません。 なんとなく定数項の場合「分子と分母のxの次数をそろえて1にする」ようなニュアンスはありますが、x^6のことを考えるとまったくわからなくなります。 (2)(1-a^2+2/a)^3の展開式の定数項を求めよ。 似たような問題です。。。これも二項定理の拡張の定理（名前はいい加減）より、一般項は{(-1)^q・3!・2^r/p!・q!・r!}・a^2q-rというところまでは公式に当てはめるだけなので、わかります。これは条件より、(p,q,r)=(3,0,0),(0,1,2)ともとまります。ここも大丈夫ですが、この後定数項は（一般項に(3,0,0)を代入したもの）＋（一般項に(0,1,2)を代入したもの）＝-11となっています。何でこれらを足しているのでしょうか。(p,q,r)=(3,0,0),(0,1,2)なので定数項が2通り出てくるのではないかと思います。もちろんそんなことありえないのはわかっていますが、なぜ足すのでしょうか。 長文すみません。どうか、よろしくお願いいたします。

  • 因数定理。後少しなんですが…

    いつもお世話になっています。 あと１週間で実力テストとなり勉強に追われているものです…;; 因数定理を使う問題で、 整式P(x)を(x+1)(x-2)で割ったときの余りは5x+7である。このときP(x)をx+1で割ったときの余りを求めよ。という問題なんですが・・・ まず、因数定理でP(x)=(x+1)(x-2)Q(x)+5x+7 P(-1)=2 P(2)=17　が分かり 次に、余りをax+bとおいて、P(x)=(x+1)Q(x)+ax+bとし、 この式に-1を代入し-a+b=2 という所まではいけたのですが…もうひとつ式が出ない限りaとbの値は出せないので困っています;;

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する