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P(lim |X_n - X| > ε) = 0 を厳密に書くと P({ω∈Ω; |X_n(ω)-X(ω)| > ε}) = 0 となり，補集合を取れば P({ω∈Ω; |X_n(ω)-X(ω)| ≦ ε}) = 1 となります．集合 A_k を A_k = {ω∈Ω; |X_n(ω)-X(ω)| ≦ 1/k}) と定めると (1) P(A_k) = 1 (2) A_1 ⊃ A_2 ⊃ ... が成り立つので，測度の単調収束性から 1 = lim P(A_k) = P(∩A_k) が成立します．よって ∩A_k = {ω∈Ω; |X_n(ω) - X(ω)| = 0} を示せば主張が示されたことになります． この等号を ⊃ と ⊂ を示すことで示します． ⊃ は各A_kが右辺を含むので成り立ちます． ⊂ について，任意の左辺の元ωは |X_n(ω) - X(ω)| ≦ 1/k (k ≧ 1) を満たすので，|X_n(ω) - X(ω)| = 0 となり， ωが右辺にも含まれることがわかります．
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No.1へのコメントに対して： lim[n→∞] は書き落としただけで，全部に必要です． ただ，あってもなくても証明は全く変わりません．
お礼
納得しました。どうもありがとうございましたm(_ _)m
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