確率論

質問

確率論の内容ですが、任意のε>0に対して
P(lim |X_n-X|>ε)=0
が言えるのであれば
P(lim |X_n-X|=0)=1
となるのを厳密に示したいです。この場合どうすればいいのでしょうか？
ご教授お願いします。

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

P(lim |X_n - X| > ε) = 0
を厳密に書くと
　P({ω∈Ω; |X_n(ω)-X(ω)| > ε}) = 0
となり，補集合を取れば
　P({ω∈Ω; |X_n(ω)-X(ω)| ≦ ε}) = 1
となります．集合 A_k を
　A_k = {ω∈Ω; |X_n(ω)-X(ω)| ≦ 1/k})
と定めると
　(1) P(A_k) = 1
　(2) A_1 ⊃ A_2 ⊃ ...
が成り立つので，測度の単調収束性から
　1 = lim P(A_k) = P(∩A_k)
が成立します．よって
　∩A_k = {ω∈Ω; |X_n(ω) - X(ω)| = 0}
を示せば主張が示されたことになります．

この等号を ⊃ と ⊂ を示すことで示します．
⊃ は各A_kが右辺を含むので成り立ちます．
⊂ について，任意の左辺の元ωは
　|X_n(ω) - X(ω)| ≦ 1/k 　(k ≧ 1)
を満たすので，|X_n(ω) - X(ω)| = 0 となり，
ωが右辺にも含まれることがわかります．

補足

P(lim |X_n - X| > ε) = 0
を厳密に書くと
P({ω∈Ω; |X_n(ω)-X(ω)| > ε}) = 0
となるのでしょうか？
{ω∈Ω; |X_n(ω)-X(ω)| > ε}の事象と{ω∈Ω; lim |X_n(ω)-X(ω)| > ε}の事象は同じなのですか？

回答No.2

PRFRD

No.1へのコメントに対して：

lim[n→∞] は書き落としただけで，全部に必要です．
ただ，あってもなくても証明は全く変わりません．

お礼

納得しました。どうもありがとうございましたm(_ _)m