確立の漸化式

質問

善玉が15個と悪玉が4個入った袋から玉をひとつづつ取り出す。取り出した玉は戻さない。
ｎ回目に3個目の悪玉を取り出す確立をP_nとする。
このときP_nの最大となるｎを求めよ。

といふ問題ですが、解説には

条件より３≦ｎ≦１８
取り出した玉を、順に一列に19個並べた順列をすべての場合と考えその総数をNとし、そのうち上の条件を満たすものをα_ｎとすると
N＝19_Ｃ_4 (19 COMBINATION 4)
α_n＝n-1_Ｃ_2 * 1 * 19-n_Ｃ_1 (n-1 COMBINATION 2 ×　１　×　19-n COMBINATION 1)
P_n＝α_ｎ／Ｎ
・・・・・

と載っているのですが、Ｎの出し方と、α_nの出し方と、どうしてP_n＝α_ｎ／Ｎになるかがわかりません。

解説の解説お願いします。（ネット上のコンビネーションとかってこういう書き方でいいのかな？）

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

すべての玉を区別して，Ｎ'＝19！を全体と見ると，
その中で条件を満たす並べ方は

α'_n＝（n-1_Ｃ_2 * 1 * 19-n_Ｃ_1）*4!*15!
３個目がn番目でその左のn-1箇所に2個，右の19-n箇所に1個の悪玉が入る．

つまり悪玉4個の並ぶ場所の決め方がn-1_Ｃ_2 * 1 * 19-n_Ｃ_1　通りで，
実際そこに区別のつく４個の玉がどう入るかで4!倍．
更に，残りの決まった場所に15個の善玉がどう入るかで15!倍．

よって求める確率はP_n＝α'_ｎ／Ｎ'＝α_ｎ／Ｎ

とやっても出ますが，この場合はすべての玉を使うので，最初から同種の玉の並べ方*4!*15!は区別せずに，解説のように直接P_n＝α_ｎ／Ｎとやることが可能です．（最初からＮ'＝19！／(4!*15!)と割った形を全体と見ている．）

ただし，一部の玉しか使わないときなどは単純にそういかなくて，一般には同じ種類の玉が何個(ずつ)あるかで入れ替えの数に注意して数える必要があります．例(1,1,1)と(1,1,2)と(1,2,3)など．

トランプの場合でも，スペードとかハートとしか見ないのなら，52枚(ジョーカーは除く)をすべて区別する必要は無くて，全部1／4の確率で出るとしても良いですね．

回答No.2

oshiete_goo

#1ですが補足です．
＞トランプの場合でも，スペードとかハートとしか見ないのなら，52枚(ジョーカーは除く)をすべて区別する必要は無くて，全部1／4の確率で出るとしても良いですね．

これは１枚だけならともかく，複数枚取り出すときは，残りの枚数によって確率が変わってくるので，不適当でした．お詫びして撤回します．

簡単な例
白３枚，赤２枚で，でたらめに並べるとき左から2枚目に赤が来る確率は？
左から2枚目と残りの４箇所のうちのどこに赤が来るかで1*(4Ｃ1)通り．
全体は5箇所のうちどこに赤が来るかで5Ｃ2通り．
よって　1*(4Ｃ1)／5Ｃ2　
これなら良いでしょう．

お礼

解決しました！どうもっありがとうございました～！！☆