少なくとも１人はいるか？という問題について

質問

問題集をといていて疑問に思ったので
よろしくお願いします。
あるアンケートを１００人に行ったところ
犬が好きな人は８７人
猫が好きな人は６３人
ウサギが好きな人が３８人
という結果になった。
この３種類の動物すべてを好きであると
答えた人は少なくとも１人はいるか？
という問題です。
私は線分比を書いて、いない可能性もあるのでバツに
したのですが、答えはマルでした。
その解説に納得いかないので質問させてもらいました。
宜しくお願いします。

回答No.5

noname#78774 · ベストアンサー

い　ーーーーーー～～～
　　　　８７　　　　　１３（100人に満たない分）
ね　　　　　ーーー～～～
　　　　　　５０　　　１３
う　ーー　　　　　　～～～
　　２５　　　　　　　　１３

犬と猫、犬と兎、別々に考えるとあっていますが
犬と猫そして兎を同時に考えるとなると間違っています。
なぜかというと、猫と兎の関係を無視しているからです。

簡単に言うと
例1)A,B,Cという数の大小を比べるとする
この時A<B、A<Cであった
AとCの大小は分かりますが、BとCを比べることは出来ませんよね。

例2)A,B,Cという数の大小を比べるとする
この時A<B,B<Cであった
これならばA<Cという風に出来ます。

お礼

よく分りました!!
猫とウサギを比べると１匹必ず重なるのに
この図で重ならないのは犬としか比べてないから
なんですね・・。
すっきりしました☆
ありがとうございました！

回答No.6

R_Earl

> 犬だけ好きが13人 a
> 猫だけ好きが12人 b
> 兎だけ好きが12人 c
> 兎好き∧猫好き　必ず1人以上いる。 d
> 猫好き∧犬好き　必ず50人以上いる。 e
> 犬好き∧兎好き　必ず25人以上いる。 f
> 全部好き　　　　が1人もいない　　 g
>
> ベン図を考えると
> a+b+c+2(d+e+f)+3g
> =13+12+12+2(1+50+25)+3g
> =189+3g　(g=0)
> しかし、87+63+38=188になるはずなので成り立たない
> 1人必ず被るということです。
> ゆえに全部好きがいないというのが成り立たない。

「犬だけ好き」なのは12人ではないでしょうか
(87 - 50 - 25 = 87 - 75 = 12)。
よってa+b+c+2(d+e+f)+3g = 188 + 3gとなり、
g = 0でもOKということになります。

最も悲観的ではないケースでもg = 0となるかを考えます。
d, e, fのどれか1つを1人増やすと(a+b+c+2(d+e+f)+3gの値が2増加)、
a, b, cのうち2つが1人ずつ増えます(a+b+c+2(d+e+f)+3gの値が2減少)。
つまり1つでもa+b+c+2(d+e+f)+3g = 188(ただしg = 0)が成り立つケースが存在するなら、
それを元にa+b+c+2(d+e+f)+3g = 188(ただしg = 0)が成り立つ別のケースを作ることができます。
よって最も悲観的ではないケースでも、
g = 0となる場合が存在することになります。

この問題を手っとりばやく解決する方法は、
「犬猫兎全部が好きな人がいない例」を挙げることだと思ったので、
そのような例を作ってきました(方針はANo.1さんと同じです)。
○が「好き」で、×が「好きではない」となります。

犬　猫　兎　No
○　○　×　1
○　○　×　2
○　○　×　3
○　○　×　4
○　○　×　5
○　○　×　6
○　○　×　7
○　○　×　8
○　○　×　9
○　○　×　10
○　○　×　11
○　○　×　12
○　○　×　13
○　○　×　14
○　○　×　15
○　○　×　16
○　○　×　17
○　○　×　18
○　○　×　19
○　○　×　20
○　○　×　21
○　○　×　22
○　○　×　23
○　○　×　24
○　○　×　25
○　○　×　26
○　○　×　27
○　○　×　28
○　○　×　29
○　○　×　30
○　○　×　31
○　○　×　32
○　○　×　33
○　○　×　34
○　○　×　35
○　○　×　36
○　○　×　37
○　○　×　38
○　○　×　39
○　○　×　40
○　○　×　41
○　○　×　42
○　○　×　43
○　○　×　44
○　○　×　45
○　○　×　46
○　○　×　47
○　○　×　48
○　○　×　49
○　○　×　50
○　○　×　51
○　○　×　52
○　○　×　53
○　○　×　54
○　○　×　55
○　○　×　56
○　○　×　57
○　○　×　58
○　○　×　59
○　○　×　60
○　○　×　61
○　○　×　62
×　○　○　63
○　×　○　64
○　×　○　65
○　×　○　66
○　×　○　67
○　×　○　68
○　×　○　69
○　×　○　70
○　×　○　71
○　×　○　72
○　×　○　73
○　×　○　74
○　×　○　75
○　×　○　76
○　×　○　77
○　×　○　78
○　×　○　79
○　×　○　80
○　×　○　81
○　×　○　82
○　×　○　83
○　×　○　84
○　×　○　85
○　×　○　86
○　×　○　87
○　×　○　88
×　×　○　89
×　×　○　90
×　×　○　91
×　×　○　92
×　×　○　93
×　×　○　94
×　×　○　95
×　×　○　96
×　×　○　97
×　×　○　98
×　×　○　99
×　×　○　100

お礼

回答ありがとうございます！
今日３時（午前３時）ころ締め切ったと思ったのですが＾＾；
なにかシステムのミスでしょうか？
ですが参考になりました！
なんだか混乱してきたので、また自分で考えてみようと
思います・・。
もしかしたらまた質問作ってしまうかもしれませんが
その時はよろしくお願いします。

回答No.4

sanori

＃１の回答者（＝阿呆）です。

たぶん、Ｎｏ．３の方の回答が正しいと思います。
失礼しました。

お礼

回答いただけただけで十分です！
ありがとうございました!!

回答No.3

noname#78774

最も悲観的に考えた場合
犬だけ好きが13人 a
猫だけ好きが12人 b
兎だけ好きが12人 c
兎好き∧猫好き　必ず1人以上いる。 d
猫好き∧犬好き　必ず50人以上いる。 e
犬好き∧兎好き　必ず25人以上いる。 f
全部好き　　　　が1人もいない　　 g

ベン図を考えると
a+b+c+2(d+e+f)+3g
=13+12+12+2(1+50+25)+3g
=189+3g　(g=0)
しかし、87+63+38=188になるはずなので成り立たない
1人必ず被るということです。
ゆえに全部好きがいないというのが成り立たない。

反例はともかく
A∧B、B∧C、C∧Aの時はA∧B∧Cで必ず一つは被るはずです。
ベン図を書いてみてください。
すると
犬だけ13人 A
猫だけ13人 B
兎だけ13人 C
兎猫だけ0人 D
猫犬だけ49人 E
犬兎だけ24人 F
全部1人 G (好きを省略)

A+B+C+2(D+E+F)+3G
=13+13+13+2(49+24)+3
=39+146+3=188

どうでしょうか。
もっと簡単なやり方はありますが、これだと目でわかると思われます。

お礼

回答ありがとうございます！
ベン図を使う発想があったんですね。
「少なくとも」だと使いにくいと思っていました。
ちなみに私の線分図（下に書いてある）だと
どこが間違っているのでしょうか？
分りずらいので恐縮ですが、
もしご指摘があれば教えてもらえませんか？

回答No.2

a-kasatana

いま与えられている条件だけでは答えは×です。

他に条件が書かれていたか、表現の異なる書かれ方ではなかったですか？

お礼

回答ありがとうございます！
問題はこのとおりで
「確実にいえるか」という質問でした！
下に書いたよう解説がのっていましたが
私がうまく表現できず
意味の分らないものになっていますね＾＾；

回答No.1

sanori

こんばんは。

猫とウサギの両方が好きな人は、最も悲観的に見ると、
６３＋３８－１００　＝　１人
しかいません。

ですから、犬が好きな人が１００人でないと、３種類すべてが好きな人がいることを保証できません。

よって、答えはバツです。

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

い　ーーーーーー～～～
　　　　８７　　　　　１３（100人に満たない分）
ね　　　　　ーーー～～～
　　　　　　５０　　　１３
う　ーーーー
　　３７　　　１（一人必ずかぶる）
という解説でした。
ただ私はそれなら
い　ーーーーーー～～～
　　　　８７　　　　　１３（100人に満たない分）
ね　　　　　ーーー～～～
　　　　　　５０　　　１３
う　ーー　　　　　　～～～
　　２５　　　　　　　　１３
こうすればより悲観的に考えれて３つが重ならずにすむのでは
ないかなと思いました。（わかりずらい線分図ですみません）
sanoriさんの方法はとても簡単ですね。
頭がかたくて思いつきませんでした！
問題集が間違ってるみたいですね＾＾；
回答ありがとうございました！