方程式を解く（円弧と角度）

質問

困っています。
ある2次元図形（CAD）で方程式を立てたところ、
R・sin(θ)-R・sin(A)/B =C・tan(D)-R・θ・tan(E)・tan(D)+F・tan(E)・tan(D)
という計算式ができました。
この式のθを導きたいのですが、どなたか分かりませんか？
※θ以外は、既知の値です。
図形的に導くことができたのですが、これを解こうとしていくつかやってみたのですが、計算値と図形での値とが一致しませんでした。（1週間悩みました。）
→計算での答えは合っていたのですが・・・。
お願いいたします。

回答No.4

noname#101087

>　　sin(θ) + θ*F = G

つまり、
　　y = sin(x) + x*F - G
の零点へ逐次収束させればよいわけですね。(Newton 法など)

EXCEL にグラフを描いてみると、y = x*F - G に y = sin(x) を重畳した形になりますから、
逐次求解の初期値として xo = G/F を使えば済みそうです。

回答No.3

arrysthmia

(sin θ) + αθ = β,
α = (tan E)(tan D),
β = sin(A)/B + (C/R)(tan D) + (F/R)(tan E)(tan D).
を解くのですね。

ニュートン法は、いかがですか？
φ(x) = (sin x) + αx - β と置いて、
θ[k+1] = θ[k] - { φ(θ[k]) / φ'(θ[k]) }
で、近似解を漸化します。
cos θ ≒ -α でなければ、これで上手くゆくハズです。

初期値 θ[0] は、No.2 さんも指摘しておられるように、
-1 ≦ -αθ+β ≦ 1 から、2nπ ≦ θ ＜ 2(n+1)π となる
整数 n を見つけて、2nπ ≦ θ[0] ＜ 2(n+1)π の範囲で
テキトーに設定すれば良いでしょう。

お礼

arrysthmiaさん　ありがとうございます。
値を適当に設定して確認したところ、収束することを確認しました。

初期値θ[0]＝Eで、解はE＜θ＜π/2と分かっており、大丈夫だと思われます。

EXCELの計算ではせいぜいE-14までの桁なので、近似解でも十分だと思われます。
あとは、この後の計算もあるので、誤差で影響しないように気をつければ良さそうですね。

お二方に感謝いたします。

回答No.2

noname#101087

>...... この式はねじのリードに対する移動位置に関する計算です。

ねじの門外漢ですが「G/(1+F) が 1 よりも十分小さければ.... 」じゃ済まないことはわかりました。

　　sin(θ+ 2nπ) + (θ+ 2nπ)*F = sin(θ) + (θ+ 2nπ)*F = G
なので、泥臭いやり方ですが、θ= 0, n = 0, 1, 2, 3 ...... のときの F と G の値を
　　F(0,n), G(0,n)
と表形式にしておき、そこから近似解を拾って(LOOKUP 関数)逐次求解するのが実際的みたいです。

専門家なら、もっとスマートな解法があるのかも。

回答No.1

noname#101087

>R・sin(θ)-R・sin(A)/B =C・tan(D)-R・θ・tan(E)・tan(D)+F・tan(E)・tan(D)

θを含む項を左辺にまとめると、
　　R*sin(θ) + R*θ*tan(E)*tan(D) = R*sin(A)/B + C*tan(D) + F*tan(E)*tan(D)
なので、
　　sin(θ) + θ*F = G
という形。
この先の式誘導はできそうもありませんね。
逐次求解しかなさそうです。
G/(1+F) が 1 よりも十分小さければ、それを近似解にすれば収束しそうですが、実際の数値は如何？

補足

178tallさん　本当にありがとうございます。
実際の数字については、手元に詳しい資料が無いので即答できません。
後日、実際の数字について解答いたします。

>→計算での答えは合っていたのですが・・・。
とは、実際の数字を当てはめたときに答えが合ってくるという意味です。

実際の数字は、プログラムを作成して回答を導き、実作に作図して検証しました。
できれば、EXCELのシート計算だけでやりたかったので、何とかならないかと思いました。

ちなみに、この式はねじのリードに対する移動位置に関する計算です。