D_4の乗積表の作り方って?

質問

Write out the multiplication table for D_4, the symmetry group of the square below.

という問題です。{id,a,b,c}から{id,a,b,c}への全射全体がD_4になるのでしょうか?

　id,a,b,c
id
a
b
c

というような16マスの乗積表を完成させればいいのかと思いましたら
下図のように64マスになってます。
これはどういうことでしょうか?

それと上図はどのように利用するのでしょうか?

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/miscellaneousness/table.jpg

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

とりあえず教科書とかをきちんと読むこと。
D4は日本語では４次の「二面体群」というものであり
要素数は８。
きわめて基本的な練習問題に過ぎませんので
自力で解きましょう．
D4の定義を理解していないから「全単射の個数」なんていう
筋違いなことになって解けないのです．

定義の流儀が複数あるので，
定義をここに書くと混乱するかもしれないけど
D4は一個の正方形を自分自身にうつす合同置換の集合です．
したがって，
冷静に考えれば，「45度の回転」と「上下の入れ替え」から
生成される群であることはすぐにわかります
（これは上のほうの正方形の図の意味）．

お礼

有難うございます。D_4の意味が分かりました。

1,4
2,3 の像として

1,4
2,3

4,3
1,2

3,2
4,1

2,1
3,4

2,3
1,4

4,1
3,2

1,2
4,3

3,4
2,1

の8個の写像があるのですね。
三角形の場合は3次の2面体群,5角形の場合は5次の2面体群,…
と呼ぶのですね。

回答No.3

kabaokaba

NO.1です．
＞冷静に考えれば，「45度の回転」と「上下の入れ替え」から

わお！
2π/4を45度書いてしまった。。かなりへこみましたが
当然90度です．
45度回転で正方形が一致するわけがない

お礼

有難うございました。
とても勉強になりました。

回答No.2

arrysthmia

＞ {id,a,b,c}から{id,a,b,c}への全射全体がD_4になるのでしょうか?

ハズレです。
４点から４点への全単射全体だと、正方形が捻れて蝶ネクタイみたいに
なる写像も含まれてしまいます。

＞ というような16マスの乗積表を完成させればいいのかと思いましたら

あれれ？
D_4 が { id, a, b, c } に作用する…　と考えたのかと思ったら、
途中から、D_4 = { id, a, b, c } という考えに変わってしまいましたね。

具体的な D_4 以前に、乗積表って何なのか、考え直してみたほうが
よいのでは？

因みに、D_4 は、「９０°の回転」と「裏返し」で生成されます。
「裏返し」は、上下の反転でも、左右の反転でも、対角線についての鏡映でも。

お礼

有難うございました。
とても勉強になりました。