線型代数学（エルミート変換、ユリタリ変換について）

質問

教科書（線型代数入門　齋藤正彦著）のとある問、

１．『エルミート変換の固有値は全て実数で、ユリタリ変換の固有値はすべて絶対値が１の複素数である』

２．『任意の線型変換Ｔに対し、Ｔ*Ｔは、半正値エルミート変換である』

ということはなんとなく感覚的には分かるし、どちらもなんとなくの自分で証明(高校でやるような幼稚っぽい感じの証明)もできたのですが、ちゃんとした論理立てた証明をつくれなくて困っています。
解説してくださる方よろしくお願いしますｍ(_ _)ｍ

回答No.1

nubou · ベストアンサー

（１）
Ｈ＝Ｈ＾＊かつＨ・ｖ＝λ・ｖかつ｜ｖ｜≠０⇒
ｖ＾＊・Ｈ・ｖ＝λ・ｖ＾＊・ｖ⇒
（Ｈ・ｖ）＾＊・ｖ＝λ・｜ｖ｜＾２⇒
（λ・ｖ）＾＊・ｖ＝λ・｜ｖ｜＾２⇒
λ＾＊・ｖ＾＊・ｖ＝λ・｜ｖ｜＾２⇒
λ＾＊・｜ｖ｜＾２＝λ・｜ｖ｜＾２⇒
（λ＾＊－λ）・｜ｖ｜＾２＝０⇒
λ＾＊＝λ

（２）
Ｕ＾＊・Ｕ＝ＥかつＵ・ｖ＝λ・ｖかつ｜ｖ｜≠０⇒
｜Ｕ・ｖ｜＾２＝｜λ・ｖ｜＾２⇒
（Ｕ・ｖ）＾＊・（Ｕ・ｖ）＝｜λ｜＾２・｜ｖ｜＾２⇒
ｖ＾＊・Ｕ＾＊・Ｕ・ｖ＝｜λ｜＾２・｜ｖ｜＾２⇒
ｖ＾＊・Ｅ・ｖ＝｜λ｜＾２・｜ｖ｜＾２⇒
ｖ＾＊・ｖ＝｜λ｜＾２・｜ｖ｜＾２⇒
｜ｖ｜＾２＝｜λ｜＾２・｜ｖ｜＾２⇒
（｜λ｜＾２－１）・｜ｖ｜＾２＝０⇒
｜λ｜＝１

（３）
Ｔ＾＊・Ｔ・ｖ＝λ・ｖかつ｜ｖ｜≠０⇒
ｖ＾＊・Ｔ＾＊・Ｔ・ｖ＝λ・ｖ＾＊・ｖ⇒
（Ｔ・ｖ）＾＊・Ｔ・ｖ＝λ・｜ｖ｜＾２⇒
｜Ｔ・ｖ｜＾２＝λ・｜ｖ｜＾２⇒
０≦λ・｜ｖ｜＾２⇒
０≦λ

（Ｔ＾＊・Ｔ）＾＊＝Ｔ＾＊・Ｔは明白

お礼

ありがとうございました＾＾とてもわかりやすいです！
またよろしくおねがいします！