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証明問題について教えてください
「剛体全体の運動量は全質量に重心の速度を乗じたもの」という定理を証明するために自分で考えてみました。 まず、rを任意の点からの距離、rgを重心、Ｍを全質量、ρ(r)を密度、dVを微小体積とすると、 定義より、rg=∫ρ(r)*rdV/M が成り立ち、この式の両辺にMをかけ、時間tで微分すると M(d/dt)rg=(d/dt)r∫ρ(r)dV となることから、剛体全体の運動量は全質量に重心の速度を乗じたものである。 以上で証明はできているでしょうか。 根本的な部分から間違っていたら、証明の指針だけでも教えていただけるとありがたいです。
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質点の集合と考えた方がわかりやすいと思います。 剛体を構成する質点に番号iをつけて，質量mi，位置riとします。 rg=Σ(miri)/M により， Σmidri/dt = d/dt・Σ(miri) = d(M rg)/dt = M drg/dt 以上の証明では，「剛体であること」は使っていません。なぜなら， 「全体の運動量は全質量に重心の速度を乗じたもの」というのは 剛体でなくとも成り立つからです。 さて，これを積分の形にするとおっしゃるとおりになりそうです。 しかし，微小部分の運動量をρ(r)dr/dt dV と書くことには，すでに 指摘があったように問題があります。ρ(r)のrは剛体内にわたる 積分変数，dr/dtは微小部分の速度を表しており２つのrは意味合いが 異なります。単にρと書いて微小体積dVの密度とし，剛体であるから その位置rが時間とともに変わっても，剛体内の特定のdVにおいて定数 であるとするしかありません。そうすることで時間微分の内外への 出し入れが自由にできるわけです。この紛らわしさがあるので， 与えられたような要求にこたえる場合，連続体だからといって積分の 表現にこだわった説明はあまり使われないようです。
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- phyonco
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rは積分変数ですよね。どうしてそれを時間で微分出来るのですか？ しかもそれを積分の外に出すには更に仮定が必要です。 あなたの証明は剛体であることをどこにも使っていません。剛体である ことをρを使って言い表せば、自ずと答えが見えてくるはずです。
補足
回答ありがとうございます。 ｒは定数ではないですから積分の外には出せないですよね。 気づきませんでした。 質点相互の位置が変わらないもののことを剛体といい、ある質点の座標をｒとすると、r-rg=一定ということはわかるのですが、密度ρを使って剛体であることを表すのはわからないです。 勉強します。
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