代数的な問題です。

質問

一般の5次以上の方程式には解がないとありますが、証明がよくわかりません。分かりやすく教えてください。

回答No.1

springside · ベストアンサー

ストレートな「回答」ではありませんが、ご参考までに。

「解がない」ではなく、解は必ず存在します（複素数の範囲で）。ただ、「係数に四則演算（加減乗除）と累乗根を施すことによって得られる、【解の公式】は存在しない（※）」です。なお、５次以上でも、四則演算と累乗根以外の方法で解を求める方法はあります。

※は、ガロアという人が１９歳のときに証明した、
「一般のｎ次方程式の解が、その係数に四則演算と累乗根を施す操作によって表されるための必要十分条件は、その方程式のガロア群が可解群である」という定理がミソです。 ５次以上の方程式では、そのガロア群が可解群ではないものが存在するため、※が言えるということです。

検索エンジンのGoogle（http://www.google.co.jp）で、「５次以上の方程式」というキーワードで検索すれば、参考になるページがたくさん出てきますので、見てみたらいかがでしょう。

回答No.2

Mell-Lily

一般の5次以上の実数、及び、複素数の係数を持つ代数方程式の代数的な非可解性（アーベルの定理）の最初の完全な証明は、ノルウェーの数学者アーベル (Niels Henrik Abel, 1802～1829) によって与えられました。さらに、ガロア (Evariste Galois, 1811～1832) は、群論という方法を用いて、一般のn次方程式が代数的に可解であるための必要十分条件を求めました。

この辺りの事情を説明した図書は、結構、多数出版されています。例えば、
　『天才数学はこう解いた、こう生きた』（講談社選書メチエ, 木村俊一）
には、ガロア理論を用いたアーベルの定理の証明が、一般的な読者にも理解しやすいように書かれています。