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０の定義
arrysthmiaの回答
0 の定義は、「任意の整数 a について a + x = a が成り立つような整数 x」です。 そのような x が存在することは、「整数」の定義の一部なので、その存在については 「だって、それが無かったら、整数じゃないじゃん」以外の証明はありません。 lim[n→+∞] 1/n が 0 になることに証明を与えるには、lim の定義をきちんと 行うことが必須です。「ドンドン行くとドンドン」式では、証明になりませんから。 数列 a_n の極限 lim[n→∞] a_n が α になるとは、 任意の正数 ε に対して、自然数 M が在って、n > M ならば | a_n - α | < ε が成立することを言います。 この「極限」の定義に照らして、lim[n→+∞] 1/n = 0 は、 任意の正数 ε に対して、自然数 M が在って、n > M ならば | 1/n | < ε と言い換えることができます。これは、 任意の正数 ε に対して、自然数 M が在って、1/M < ε とも同値です。 この三番目の形は、「実数」の定義の一部であるアルキメデスの公理 そのものです。よって、自明。 この証明の中で、上記の 0 の定義は、| 1/n - 0 | = 1/n と計算するときに使いました。
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