確率密度関数

質問

塗装は作業者Bが行い、その平均塗装時間は３時間あった。
作業時間は、独立かつ指数分布に従うとする。

塗装作業のうち、塗装工程の最終工程であるコーティング作業は各作業と独立な平均作業時間１時間の指数分布に従うと仮定する。
このとき、コーティング作業を除く塗装作業が２時間以下で終了する確率はいくらか。
指数分布　　　　ke^-kx
作業者Bの修理時間を表わす確率変数をY、コーティング作業時間を表わす確率変数をZとする。

この答えがP{Y-Z<=2}=3/4(1-e^(-2/3))=0.36493…
になるのがわかりません…
わかる方よろしくお願いします。

回答No.4

noname#227064

ごめんなさい。
下記の文章でNo.1とNo.2を逆に書いてしまいました。
訂正します。

> なお、質問の答えとしてはNo.2の方の答えでよいと思います。
> No.1の方はPr(Y-Z<0)の場合も含めてしまっているので、上記と異なる値となっています。

回答No.3

noname#227064

問題自体がよくないと思います。

> 塗装は作業者Bが行い、その平均塗装時間は３時間あった。
> 作業時間は、独立かつ指数分布に従うとする。

とありますが、これをそのまま受け取ると、塗装には何段階か作業がありそれぞれが独立に指数分布に従うが、全体として平均3時間かかると考えます。

ところが、

> この答えがP{Y-Z<=2}=3/4(1-e^(-2/3))=0.36493…
> になるのがわかりません…

になるということは、確率変数Y, Zがそれぞれ指数分布に従わないと出ない答えです。
しかし、最初の文章から考えると指数分布と指数分布の和は指数分布にならないのでおかしなことになります。したがって、問題の設定自体がまずいと思います。
なお、質問の答えとしてはNo.2の方の答えでよいと思います。
No.1の方はPr(Y-Z<0)の場合も含めてしまっているので、上記と異なる値となっています。

回答No.2

cielarko

確率変数の差 X:=Y-Z の確率分布関数 f(x) を考えるのがポイントです。
確率変数の差が
Y-Z = x
を取る時
Z = z
Y = x+z
と変数変換をすれば，確率変数Y,Zの確率分布関数が其々g(y),h(z)であるとすると
f(x) = ∫g(x+z) h(z) dz
(積分範囲:(-∞,∞)，但し，g(y)，h(z)共に指数分布なので[0,∞)）
となります。
後は連続な確率分布関数を持つ確率の定義に従い
P(Y-Z=x≤2) = ∫f(x)dx
(積分範囲:(-∞,2]，但し，f(x)も指数分布なので[0,2]）
を計算すれば
P(Y-Z=x≤2) = 3/4(1-e^(-2/3))
となる筈です

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/確率分布

お礼

回答ありがとうございます。
計算してみます。

回答No.1

gef00675

答えが3/4(1-e^(-2/3))というのはおかしいですね。

Yの確率密度関数は、
K*e^(-K*y)　　
Yの平均は3時間なので、K=1/3
Zの確率密度関数は、
L*e^(-L*z)　　
Zの平均は1時間なので、L=1/1=1

YとZは独立なので、確率は
P{Y-Z<=2}=∫∫K*e^(-K*y)*L*e^(-L*z)dydz
（積分区間は0≦z<∞, 0≦y≦z+2)
yで積分して、
=∫(1-e^(-K*(z+2)))*L*e^(-L*z)dz
=∫(L*e^(-L*z)-L*e^(-(K+L)*z-2K))dz
zで積分して、
=1-L/(K+L)*e^(-2K)
K=1/3, L=1を代入して
=1-1/(1/3+1)*e^(-2/3)
=1-3/4*e^(-2/3)=0.615...