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- echoes_x86
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こんばんは． 関係があると言えばありますし，無いと言えば無いです． m*n行列A (m > n, rank(A)=n)を考えたとき，Aの列空間への直交射影行列は A(A^T*A)^(-1)A^T ...(1) で書けます(^Tは転置記号)． 通常はA^T*AのCholesky分解 A^T*A -> U*U^T を使って (A*U^(-T))*(A*U^(-T))^T ...(2) と計算します． なのですが，Aの列にグラムシュミットの直交化を施して， A -> Q*R とすると(Rは上三角行列，Qは直交行列)，直交射影行列は Q*Q^T ...(3) で書けます． 式(2)と式(3)にさしたる違いは無いですが， 後者の方は方程式A*U^(-T)を計算するための方程式 A = X*U^T を解かなくて良いという利点があります． 結論すると， シュミットの直交化を使うと直交射影行列が安全に計算できる ということです． これは「ある空間への直交射影行列」を計算するには， 「射影先の空間の直交基」を作っておけば良い，ということに対応します．
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