直交の意義について分かりやすく教えてほしいです

質問

文系人間ですが、統計学を深く知りたいと思い、線形代数を独学しています。
　『多変量解析入門』（足立堅一著）などを使って勉強しているのですが、Gram-Schmidtの直交化法等を使ってでも（無理やり？）
直交化しようとする理由がいまひとつ分かりません。
　直交しているとどんな点が好都合で、直交していないとどんな点で不都合なのでしょうか？
　直交にこだわる理由について（できれば統計学と関連付けながら）、どなたか分かりやすくご説明いただけると嬉しいです。
　何卒宜しくお願い致します。

回答No.3

Ishiwara

＃２です。
分かりにくいところがあり、すみません。訂正します。

（訂正前）つまり、８人を男女各４人のグループに分けたとき、どちらのグループにも、年齢老・若がそれぞれ４人おり、体重軽・重もそれぞれ４人おり、

（訂正後）つまり、８人を男女各４人の２つのグループに分けたとき、どちらのグループにも、年齢老が２人・年齢若が２人おり、体重軽が２人・体重重が２人おり、同様に

お礼

Ishiwaraさん、ご回答ありがとうございました。
実験計画法でも直交が利用されてること、忘れてました。
ありがとうございました。
多変量解析における直交化のメリットももしご存知であれば、教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

Ishiwara

ある薬の効能を調べるのに、要因Ａ（性別）、要因Ｂ（年齢を２つに区分）、要因Ｃ（体重を２つに区分）、要因Ｄ（性格を２つに区分）など７項目の要因を考えると、１２８通りの人間が考えられるます。しかし、サンプルをうまく選ぶと８人でも目的を達成する可能性があります。

つまり、８人を男女各４人のグループに分けたとき、どちらのグループにも、年齢老・若がそれぞれ４人おり、体重軽・重もそれぞれ４人おり、他の特性もすべて平等にいれば、７つの要因が公平に調べられます。このような割り当てを、直交実験といいます。

このように、直交とは、ある要因に対して他の要因が「えこひいき」なくバランスを保っていることを指します。

しかし、もし、この薬が「男の場合には高齢者ほど良く効き」「女の場合には若年ほど良く効く」という傾向があると、直交条件は崩れます。実際に割り当て表を見ると分かるのですが、このような場合には、どれかの要因（例えば身長）で、ある水準（例えば高身長）のグループに、男の高齢者と女の若年者という組み合わせがどっさり入っていて、あたかも「高身長の人に良く効く」かのような、誤った結論へと導かれます。したがって「実験が高能率で行える」という利点と「要因効果が直交していない」という危惧とはトレード・オフの関係にある、とも言えます。

しかし、一般的には、直交実験というものは、ものすごく威力を発揮するものです。

回答No.1

arrysthmia

直行基底は、成分表示をするとき、多くの計算式が簡潔になります。
三平方の定理と余弦定理を比較してみると、感じがつかめるでしょう。

Gram-Schmidt直交化は、何もそれを使って、具体的な正規直行基底を
求めようというのではなく、基底の存在する空間には正規直行基底が
存在することを、その構成方法を以って「こうやれば作れるよ」と
示しているだけです。あとは、その空間の正規直行基底を { e_i }
とでも置いて、証明等の道具にでも使えばよいのです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
直交化は計算を簡潔にするための「手段」「道具」なのですね。

頂いたコメントを拝読したうえで、
http://alg.cias.osakafu-u.ac.jp/linalg.html
のシュミレーションを繰り返し行ってみました。直交化のイメージがだいぶつかめてきました。ありがとうございました！