確率の問題です

質問

クイズで，100問中の問題に僅かに1問だけ不正解という芸能人がいる．やってみろ,といわれて20問答えたところ,2問不正解だった．彼はうそつきと判断できますか？
これを証明するのに，どうすればいいですか？宜しくお願いします．

回答No.4

aokisika · ベストアンサー

確率に関する誤解があります。

まず、１００問中９９問が正解ですから、正解率は９９％です。

では９９問正解したら、１００問目はどうなるのでしょうか？
１００問目は必ず不正解だとしたら、１００問目の問題に取り組む時点での正解率は０％ということになってしまい、９９％ではなくなってしまいます。

あるいは、９８問正解したら、９９問目はどうなるのでしょう？
１問は必ず不正解するはずだから、正解率は５０％になるのですか？そんなことはありません。９９問目も正解率は９９％。１００問目も正解率は９９％です。それが確率です。

この芸人が１問目に正解する確率は９９％です。
１問目に正解して、続けて２問目も正解する、ということが起きる確率は

９９％×９９％＝９８.０１％

さらに続いて３問目も正解である確率は

９８.０１％×９９％＝９７.０２９９％

となります。同様に続いて、１８問目まで連続正解ということが起きる確率は

９９％×９９％×９９％×・・・・×９９％＝８３.４５１３７５５％

となります。
不正解になる確率は１％ですから、
１８問連続して正解したあとで、１９問目が不正解ということが起きる確率は

８３.４５１３７５５％×１％＝０.８３４５１３７５５％

となります。同様に２０問目で不正解になる確率は

０.８３４５１３７５５％×１％＝０.００８３４５１３７５５％

です。
しかし、不正解になるのは１９問目と２０問目とは限りません。
１問目と２問目で不正解かもしれませんし、１問目と３問目で不正解かもしれません。

１つ目の不正解が第１問目の場合に、２つ目の不正解は、
第２問目のとき、３問目のとき、４問目のとき・・・・２０問目のとき、
と１９通りあります。

１つ目の不正解が第２問目の時には、２つ目の不正解は
第３問目、４問目、・・・・２０問目
と１８通りあります。

同様に１つ目の不正解が第３問目のときには１７通り、
第４問目の時には１６通り、・・・

と続きます。結局、２０問のうち２問を間違える間違え方は、

１９＋１８＋１７＋・・・・＋１＝２００通り

となります。これを先ほどの、１９問目と２０問目で間違える確率にかけると、

０.００８３４５１３７５５％×２００＝１.６６９０２７５１％

となります。つまり、１００問中９９問正解する芸人が２０問の問題を解いた場合に、約１.６７％の確率で２問間違える、ということが起きます。

ですから、約１.６７％の確率で起きるようなことが起きてしまっただけです。

したがって、この芸人はうそつきとはいえません。

お礼

そのような思いましたが、証明し方がなかなかできないので困りました。この詳しい説明に本当に助かりました。ありがとうございました。

回答No.6

Ishiwara

「うそつき」というと数学的な定義が難しいので、「この人のクイズ正解率は99％である」を帰無仮説として、検定しましょう。
二項分布により、正解が20/20となる確率は、0.99^20=0.8179であり、19/20となる確率は、20*0.99^19*0.01=0.1652です。合計すると、0.9831ですから、帰無仮説が正しければ、この外に出る確率は1.69％となります。
よって、危険率５％なら「棄却」ですが、１％では棄却できません。棄却とは「正解率が99％もあるとは確信を持って言えない」ということです。常識的な「うそつき」とはニュアンスが違います。

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

kabotya636

ANo4さんの解答がとても良いと思いますので、ここは訂正と補足という事で書かせていただきます。
訂正
２０問から2問を選ぶ選び方
２０Ｃ2＝２０！/（１８！*２！）
　　　　＝１９０となると思います。
補足
２０問中２問正解が実力だとすると、この人が運よく１０００問中999問正解できる確率は、
(18/20）^99*(2/20)^1*100C1はおよそ2.95*10＾（-5）*0.1*100
　　　　　　　　　　　　　　　　＝2.95*10＾（-4）となり、
３４００回に1回くらいは成功できる可能性があります。

お礼

そこまで計算できる、すごいですね。ありがとうございました。

回答No.3

noname#81590

確率の問題の答えとしては「うそつき」でしょうね。不正解数は挑戦問題数に対して単純増加の関係にありますから、挑戦問題数が100問に達するまでに不正解数が2から減ることができません。よって挑戦問題数100のときに不正解数を1にするという約束は履行不能となります。

回答No.2

maxmixmax

まず「うそつき」の定義が必要になります。

証明出来るかどうかも「うそつき」の定義次第です。

回答No.1

19721219

100問中99問正解ってことは、正解率99%です。

20問の場合で当てはめると、19.8問正解しないといけないことになります。
問題の順番もありますし、小数点はあり得ませんので、実際には19～20問正解しないといけません。

って事は、嘘つきでよいのではないでしょうか？