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支出関数の凸性について
wahahannの回答
- wahahann
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ども。 まず、変数の意味を説明してください。経済学だから、一応の"お約束" として、p: price, x: quantity, e: expenditure, u: unit(utility?) だと思いますが、無説明だと不親切だと思いますよ。 ■たぶん、変数xについて、条件：x">=x'などが存在し、そのことがキー になっているのだと思います。違ったらごめんなさい。■ さて、 p"=ap+(1-a)p' (1) e(p",u) = p"x" = {ap+(1-a)p'}x" (2) =(ap)x"+(1-a)p'x" (3) >=ae(p,u)+(10a)e(p',u) (4) で、引っかかっているのは、式3の第2項から式4の第2項へのトコなの ではないでしょうか？ その前に、まず確認。 ・式1は線形結合の定義式ですよね？式2もp=p", u=uの時の関数eの定 義式ではないでしょうか。で、式2の最右辺と式3は単に式1を代入し たもの。この辺は、問題なかったろうと思います。 ・式2の関数eで、変数がuとなっているのが気になりますが、もし、u がunitならば、u=一定という設定なのでしょうか？ ・式4で、(10a)となっているのは、(1-a)のミスでしょう。 で、本題。 ・式3で、(1-a)p'x"となっているものが、式4では(1-a)e(p',u)になっ ているわけですが、推測するに；p=p"のときの式2の定義と同じよう に、p=p'の時は、e(p',u)=p'x'という条件があるのではないでしょう か？ ここがポイントだと推測したのですが、もし条件0<=x'<=x"というも のがあるならば； p'x">=p'x'=e(p',u) になるはずです。そうすると、式3および式4の第2項を比べると、 (1-a)p'x">=(1-a)p'x'=(1-a)e(p',u) になるはずです。式3と式4の第1項は式2の定義から同じなので、 不等式に影響を及ぼしません。第2項だけが犯人です。 とまぁ、変数の中味を勝手に推測した限りですが、こんな感じではない でしょうか？違ったらごめんなさい。まずは、付加条件(x'やx"のこと) がないかどうか、もう一度確認してみてください。 ちなみに、凸性についてはご理解していると思いますが、式1の線形結合 の下で、費用関数が線形結合よりも上になることですよね。 2軸のxyグラフ(この場合は、e(p,u)とxかな？)に描いてみればわかると思 いますが、2点を結んだ線よりも上になりますよね。だから不等式になって いるんだと思います。 ではでは。
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