共振特性
まず、GLC並列回路のインピーダンスはZ=1/{(1/R)+j(ωC-(1/ωL))}となる。
この回路の共振点における共振点角周波数をω_0とおいて、Z=R/[1+j(ω_0)CR{(ω/ω_0)-(ω_0/ω)}]と変形する。
ここで、コイルに流れる電流をi_L, コンデンサに流れる電流をi_Cとおく。
共振時の電圧|V|=i_0/gより、I_L=(1/(j(ω_0)L))*(i_0/g), i_C=(jωC)*(i_0/g)となる。そして、この並列共振回路のquality factor Q値をQ=|I_L/I_0| = |I_c/I_0| =((ω_0)C)/g=(1/((ω_0)Lg)と定義する。
このQ=((ω_0)C)/g=((ω_0)C)Rを先に述べたインピーダンスZの式に代入すると、
Z=R/[1+jQ{(ω/ω_0)-(ω_0/ω)}]となる。
この式の(ω/ω_0)-(ω_0/ω)の部分を新たな周波数変数xを用いてx=(ω/ω_0)-(ω_0/ω)で表す。すると、Z=(R/(1+jQx)), |Z|=R/(√(1+(Q^2)x^2)),
argZ=-arctan Qxとなる。
ここで共振回路の通過帯域を|Z|>R/(√2)と定義し、|Z|=R/(√2)になるxをx_1及びx_2 , ωをω_1及びω_2とおくと、
|Z|=R/(√(1+(Q^2)x^2))=(Q^2)*(x_1及びx_2)^2
x_2>0, x_1<0と考えると、上の式を解いて
x_1=-(1/Q), x_2=1/Qとなる。
x_1=(ω_1/ω_0)-(ω_0/ω_1)=(-1/Q), x_2=(ω_2/ω_0)-(ω_0/ω_2)=1/Qの式を連立させて変形すると、(ω_2)^2-(ω_1)^2=(ω_0/Q)*(ω_2+ω_1)となる。ここで通過帯域幅をω_b=(ω_2-ω_1)と定義するとQ=(ω_0/ω_b)となる。
従ってQは共振の鋭さを表す量となる。
共振回路のQが大きい場合、インピーダンスが急変するのはω≒ω_0付近に限られるので、次の式が成り立つ。
x=(ω/ω_0)-(ω_0/ω)=((ω+ω_0)/ω)*((ω-ω_0)/ω_0)≒2*((ω-ω_0)/ω_0)=2(Δω/ω_0)
このとき、共振回路の特性をZ=R/{1+j2Q(Δω/ω_0)}で近似できる。
ここで、Cを可変とし、ω_0で励振したとする。
CがC+ΔCと変化した時の共振角周波数ω_0'とすると、ω_0'=1/√L(C+ΔC)≒(ω_0)*{1-(ΔC/2C)}
これより、ω_0を加えCを変化させたときのxはx=2{(ω_0)-(ω_0)')/(ω_0)' ≒ ΔC/C
Z≒R/{1+jQ(ΔC/C)}となる。
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本文がかなり長くなりました。
質問は最後の部分についてです。
まず、角周波数ω_0で励振し、CをΔC変化させると、共振角周波数ω_0'になるという事についてです。この回路に加える角周波数ω_0というのは、本文でこれまで使ってきたCが変化しない時の共振角周波数でしょうか。それとも全く共振角周波数とは関係のない、回路に加える単なる角周波数の事でしょうか。
次にω_0'=1/√L(C+ΔC)≒(ω_0)*{1-(ΔC/2C)}と、その下のx=2{(ω_0)-(ω_0)')/(ω_0)' ≒ ΔC/Cの近似式の求め方がよく分かりません。どのようにしたらそれぞれ右辺の値になるのか教えていただければ助かります。
補足
分かりやすい回答ありがとうございます。 後一点確認なのですが、 共振周波数としては、 コンデンサごとに存在すると考えてよろしいのでしょうか？ 上記の例ですと、 f=1/2π√LC1とf=1/2π√LC2が存在するという形に なるのではないかと考えたのですが。