濃度計算の仕方

質問

濃度計算の方法をお教え下さい。
８Ｌのビーカーに「溶剤Ａ」が０．８Ｌ、「溶剤Ｂ」が７．２Ｌ入っていたとき（全体量に対して溶剤Ａの濃度１０％）に全体量の８Ｌを変えずに「溶剤Ａ」の濃度が２０％になるようにするには「溶剤Ａ＋Ｂ」を何リットル捨て、「溶剤Ａ」を何リットル投入すればよいか？
この要領で、全体量の８Ｌを変えずに、
２０％→３０％の場合の捨てる量と投入量
３０％→４０％の場合の捨てる量と投入量
４０％→５０％の場合の捨てる量と投入量
を教えて頂けませんでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.2

3cmp66p2

結論から入ります。
下の式に
最初の溶液中の溶剤Aの濃度をxに代入し、
調整後の溶剤Aの濃度をyに代入すれば、
捨てて、注ぐ量V(L)がわかります。
V＝(8y-8x)／(100-x)

順序立てて考えてみてください。

溶剤Aの濃度がx％の溶液・・・(溶液1)を8Lもってきます。
この溶液をV(L)捨てて、溶剤AをV(L)注げば、もとの8Lにもどります(溶液2)ね。
※厳密には8Lになるかどうかは、問題がありますが、ここでは「8Lにもどる」という理解の仕方でよさそうですから、それで進めます。
さて、この溶液をV(L)捨てて、溶剤AをV(L)注げば、もとの8Lにもどります。
このとき、溶剤Aの濃度は、もはやx％ではありませんね。
では、このとき、溶液2では、溶剤Aの濃度はいったい何％になっているのでしょう？

まず、溶液1 8L中の、溶剤Aの体積は？　8*x/100(L)ですね。
次にこの溶液1 をV(L)捨てたわけですから、溶剤Aは　V*x/100(L)　減ることになります。
最後に、溶剤AをV(L)加えて、もとの8Lに戻しました。これで溶剤AはV(L)増えることになります。

トータルで、溶剤Aは　
（最初に入っていた量)－(捨てた量)＋(加えた量)＝8*x/100 － V*x/100 ＋ V
　＝(8－V)*x/100＋V (L)　となります。

　8L中に、溶剤Aが (8－V)*x/100＋V (L)　入っているのですから、
　溶剤Aの濃度は 100*{(8－V)*x/100＋V}/8 ％　となります。
　このとき、溶剤Aの濃度がy％になると仮定すれば、
　この(2)の式を整理すると、V＝(8y-8x)／(100-x)・・・(3)　となります。

　ここで、あなたの問題　
　「溶剤Aの濃度10％溶液8L　から　V(L)を捨てて、溶剤AをV(L)投入したとき、20％の溶液となる」
　このときのV(L)を求めてみましょう。

　x=10％　y=20％を
　V＝(8y-8x)／(100-x)・・・・(3)に代入します。

　V＝0.89(L)となります。

　同様に、20％→30％とするには　(3)の式にx=20％　y=30％を代入します。
　V＝(8y-8x)／(100-x)＝(240－160)／(100－20)＝80/80＝1L　なんとぴったり1Lです。

　同様に、30％→40％とするには　(3)の式にx=30％　y=40％を代入します。
　同様に、40％→50％とするには　(3)の式にx=30％　y=40％を代入します。
　というわけです！

回答No.1

tutuko

問題文に書かれていませんが、加えることができるのは溶剤Aだけで、溶剤Bは加えられないという前提で回答させていただきます。

「溶剤A＋B」を捨てる量と、加える「溶剤A」の量はどちらも同じです。
なのでどちらもxリットルとして、「溶剤A＋B」の中にある「溶剤A」の
量に注目して等式を立ててみましょう。
まず、10％→20%の時を例として解説します。

xリットル捨てたあとに残る「溶剤A＋B」中の「溶剤A」の量は
0.1×(8-x)…(ア)

加える溶剤Aの量は
x…(イ)

出来上がる20％溶液8リットル中の「溶剤A」の量は
0.2×8…(ウ)

(ア)+(イ)＝(ウ)なので、これをxについて解けば答えは出ます。

ちなみに10％→20％は
「溶剤A+B」を8/9リットル捨てて、同量の「溶剤A」を加える。

20％→30％は
「溶剤A+B」を1リットル捨てて、同量の「溶剤A」を加える。

30％→40％は
「溶剤A+B」を8/7リットル捨てて、同量の「溶剤A」を加える。

40％→50％は
「溶剤A+B」を4/3リットル捨てて、同量の「溶剤A」を加える。