nCrの方程式について！

質問

自分で解いてみましたが、理解できないので詳しく教えていただけたら嬉しいです。
問 7Cr=7Cr-1を満たす自然数rの値を求めよ。
7Cr,7Cr-1が意味を持つのは1≧r≦7
まずこれが分かりません。
（同じような問題で6Cr,6Cr+2が意味を持つのは0≧r≦4というのも分かりません。）
その後、参考書によると・・・
r≠r-1であり、7Cr-7Cr-1よりr+(r-1)=7
したがってr=4
となるようなんです。
本当に分からなくて困ってます（泣）
どうぞ回答よろしくお願いします。

回答No.2

favre · ベストアンサー

これ無理に方程式にして解かなければいけないのですか？。
　nCrについて、先に説明しますね。
　お分かりかと思いますが、nCrはｎ個のものからｒ個抜き出すときの組み合わせ数を表します。
　7Crは７個の中からr個を抜き出す場合の組み合わせ。なのでrが意味を持つのはｒが０～７の自然数になります（一応r=０→何も選ばない　も含むことになっています）。
　よってr-1も考慮すると１≦ｒ≦７（ｒは整数）になります。
　6Cr,6Cr-2の場合は、r、r-2が共に０～6の間の数を取る必要があるので、０≦ｒ≦４（ｒは整数）になります。

さて本題に入ると　7Cr=7Cr-1　が成り立つのは計算らしい計算をしなくても分かります。r=4です　7C4と7C3は同じ意味だからです。
７つの中から４つを選ぶ＝７つの中から３つを選ばない
７つの中から３つを選ぶ＝７つの中から４つを選ばない

もしも6Cr＝6Cr+2　という問題があれば、r=2です。6C2と6C4は同じ意味だからです。

次に無理して方程式で解こうとすると、ｎCｒ=ｎ！／ｒ！（ｎ－ｒ）！　となります。
よって　ｎCｒ-1　=ｎ！／（ｒ－１）！（ｎ－ｒ＋１）！
ｎ＝７のとき、ｎCｒ－ｎCｒ-1＝０となる　ｒを計算してください。
指数の入った階乗の展開（変形）は独特なので、参考書等を参考に頑張ってください。

お礼

本当に役に立ちました！
まだまだ不明な点も多々ありますが、また自分なりに考えてみようと思います。
ありがとうございました。

回答No.5

htms42

正直に一番もとの定義に戻って計算すればいいと思います。
何かの公式を思い出そうとする必要はありません。

ｎＣｒ＝ｎ！/(ｒ！(ｎ－ｒ)！)　

ｎ！＝ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)・・・２・１
ｒ！＝ｒ(ｒ－１)(ｒ－２)・・・２・１
(ｎ－ｒ)！＝(ｎ－ｒ)(ｎ－ｒ－１)(ｎ－ｒ－２)・・・２・１

ですから　７Ｃｒ＝７Ｃ(ｒ－１)　であれば
ｒ！(７－ｒ)！＝(ｒ－１)！(７ーｒ＋１)！
です。両辺から共通な部分を消してしまえば
ｒ＝７－ｒ＋１
ｒ＝４
がでてきます。

ｎＣｒ＝ｎＣn-r　もｎＣｒの定義式からすぐに出てくるものです。無理に公式として覚える必要のあるものでもありません。

お礼

定義すらまだ理解できていませんが・・・（汗）
頑張って理解します！
ご回答ありがとうございました。

回答No.4

favre

＃２です。
私自身も難しく考えすぎていました。

　nCr = nCn-r　だから　7Cr = 7C7-r
7C7-r = 7Cr-1　となるrを求めるのだから
　7-r = r-1
r = 4

※なぜ　nCr = nCn-r　となるのかについては、参考書を参照ください。　下記回答の　7C4と7C3は同じ意味、6C2と6C4は同じ意味　というところがポイントです。

回答No.3

htms42

ｎＣｒという表現の内容と意味が分かっておられないようです。
教科書なり、参考書なりで調べてください。

「ｎＣｒとは何のことでしょうか」という質問が先に必要になるレベルではないでしょうか。

お礼

レベルが低くてすいません（汗）
また、参考書で調べてみます。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#75273

n C r において、0 ≦ r ≦ n です。
なので、 問 7Cr=7Cr-1　において、仮に r = 8 とすると、
7 C 8 ⇒　これは不適。そもそも計算できません。

また、7Cr=7Cr-1　の計算ですが、
教科書に、「n C r = 階乗(!)」で表記された式が記載されていると
思います。それを、まずノートに記述してみてはいかがでしょうか。

お礼

分かりやすいご回答ありがとうございます。
また参考書を見て勉強したいと思います。