幾何分布

質問

ある河川の護岸は平均再帰期間が100年の豪雨に耐えられるように設計されている。
河川が5年以内にこの降水に遭遇する確率を求めよ。
というのはどのように考えれば良いのでしょうか？

解答にはP(X<=5) = p + p(1-p) + p(1-p)^2 + p(1-p)^3 + p(1-p)^4 =1-(0.99)^5 = 0.049 と書いてありました。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

要するに、豪雨の発生が、平均再帰期間 100 年の幾何分布に従うと仮定して、5年以内に豪雨が発生する確率を求めましょう、ということですね。
毎年、豪雨が発生する確率を p とすると、幾何分布の平均値（平均再帰期間）は 1/p で、これが 100 年なのだから、

豪雨が発生する確率 p = 1/100 = 0.1
発生しない確率 1 - p = 0.99
x 年後にはじめて発生する確率 P(X=x) は、1～ (x-1) 年で発生しなくて x 年後に発生する確率なので、
P(X=x) = p (1-p)^(x-1)
∴ P(X≦5) = Σ[x=1,5] p (1 - p)^(x-1)

ということです。この計算で、5年内に複数回の豪雨に見舞われる確率も含まれることに気をつけましょう。答えである 1 - (0.99)^5 は 1 - (1-p)^5 であり、(1-p)^5 が 5 年で一度も豪雨に見舞われない確率。当然ですが、二項分布で考えても同じですね。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

ありがとうございます。何となくではありますが、理解できました。

すみません、2項分布で考えるとどのようになるのでしょうか。

回答No.2

kumipapa

二項分布は既に習われているのだと思います。
独立試行と確率の定常性という前提を満たす試行列をベルヌーイ試行と呼んで、それをでたらめな起き方の典型と考えて、二項分布や幾何分布を考えたことと思います。
ベルヌーイ試行において、ｎ回の試行で事象が起きる回数を確率変数としたのが二項分布。そして、何回目の試行ではじめて事象が起きるかを確率変数としたのが幾何分布でしたね。二項分布と幾何分布とでは、扱っている事象は同じであって、着目している確率変数が違うだけです。そのとき、見ている事象が同じであるのだから、１回の試行で事象が起きる確率は当然同じです。ですから、今回の豪雨の話も、求めたい内容によっては幾何分布でも二項分布でもどちらでも考えられる。

平均再帰期間は、幾何分布の平均
1 回の試行で事象が起きる確率を p とすれば、幾何分布の平均は 1/p
平均再帰期間が 100年ならば、100 = 1/p より p = 1/100

各年で、豪雨に見舞われる確率 p = 1/100
二項分布で考えると、n 年間で y 回の豪雨に見舞われる確率 Ｑ(Y=y) は
Ｑ(Y=y) = n Ｃ y p^y (1 - p)^(n-y)
5年以内に豪雨に見舞われる確率は、5 年間で少なくとも 1 回の豪雨に見舞われる確率だから、
Ｑ(Y ≧ 1) = 1 - Ｑ(Y=0)
　　　　　　= 1 - 5 Ｃ 0 p^0 (1-p)^5
　　　　　　= 1 - (1-p)^5
　　　　　　= 1 - (0.99)^5

お礼

ご回答ありがとうございました。