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三角行列のN乗
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- imo6480
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訂正 (ア)a≠bのとき ではなくて (ア)a≠cのとき でしたっ。
- imo6480
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帰納法で証明ではありませんが、計算で証明を一つ・・・ A＝(a b 0 c) と置きます。 ケーリ－・ハミルトンより A^2-(a+c)A+acE=Ｏ A^2-(a+c)AE+acE=Ｏ (A-aE)(A-cE)=Ｏ (ア)a≠bのとき A(A-cE)-aE(A-cE)=Ｏ (半端に展開し直しただけね) A(A-cE)=a(A-cE) A^n (A-cE)=a^n (A-cE) A^(n+1)-cA^n=a^n (A-cE) これを(1)と置く A(A-aE)-cE(A-aE)=Ｏ (また半端に展開) A^(n+1)-aA^n=c^n (A-aE) (上と同じ操作) これを(2)と置く (1)-(2)より (a-c)A^n=a^n (A-cE)-c^n (A-aE) ∴ A^n=a^n (A-cE)-c^n (A-aE)/(a-c) (イ)a=cのとき (A-aE)^2=Ｏ ここで A-aE=B と置く A=aE+B A^n=(aE+B)^n =(aE)^n+nＣ1(aE)^(n-1)B+…+B^n (二項定理) =(aE)^n+nＣ1(aE)^(n-1)B (∵B^2=Ｏ) 成分は書くのめんどいけん書いてないけどこうなります。ちなみに(イ)はsharp-penさんが以前質問していた2×2行列のn乗の話が、例の一つですな～。さらにちなみに、正方行列のn乗は大体ケーリー・ハミルトンで解けます。因数分解できないときは、特殊性が潜んでいることが多いです。(特に高校の数Ｃとか受験数学で。)特殊性ってのは、周期的になってたり、n乗がｎによらないものだったりってことですよ。
- oshiete_goo
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与えられた行列をＡとして， ┌ ┐ Ａ^n＝│ａ^n ｂ[n] │ │ ０ ｃ^n │ └ ┘ ただし ｂ[1]＝b n≧2のとき ｂ[n]＝b{Σ_{k=0～n-1} a^(n-1-k)・c^k} ＝b{a^(n-1)＋a^(n-2)c＋a^(n-3)c^2＋・・・＋ac^(n-2)＋c^(n-1)} ＝b(a^n－c^n)/(a－c) [a≠c のとき] または na^(n-1)・b [a＝c のとき]
- haruka0322
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変な回答してすいません。 ＃1はミスですので、＃2の方だけ見てください。 文章が変なところとかを直そうと思ったんですが・・・。 ＃1を送信する前に修正したハズなんですけどねぇ（汗
- haruka0322
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n=kで仮定した後、もとの行列を右からでも左からでも 普通に掛けてみてください。そうすると、その形は n=k+1を代入した時と同じになり、証明できます。 推測の仕方は、試しに元の行列（Aとおきます）に 左右どちらからでもAをかけてA^2をつくり、 さらに左右どちらからでもAをかけてA^3を作れば 規則が見えてくると思いますので、もう一度落ち着いて考え直してみてはいかがでしょう？ あ、推測はできたんでしたっけ。
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