左移動について（群の作用と置換表現）

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

あるHPに次のような記述があります。

「GはG自身に群の積を左（あるいは右）から取ることによって作用する。つまりL(g,h)＝gh, R(g,h)＝h{g^(-1)}である。・・・※
Rでは逆元を取らなくてはならないことに注意せよ。
（その理由を考えよ）
この作用をそれぞれ左移動、右移動と呼ぶ。

※逆元を取らなくて済むように群の「右からの作用」というものを考えることがあるが、ここでは考えない。この講義では群はほとんどの場合左から作用する」

>つまりL(g,h)＝gh, R(g,h)＝h{g^(-1)}である。・・・※
>Rでは逆元を取らなくてはならないことに注意せよ。
>（その理由を考えよ）

ここの部分が分からないのですが。
なぜ右移動では逆元を取るのでしょうか？

よろしくお願いします。

ちなみに参考HPは

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&safe=off&q=%E8%A1%A8%E7%8F%BE%E8%AB%96%E3%81%AE%E6%96%B9%E6%B3%95%E3%81%A8%E8%80%83%E3%81%88%E6%96%B9%E3%80%80%E5%B7%A6%E7%A7%BB%E5%8B%95%E3%80%80&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

の５ページ目です。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>ここでは群の積なので、

・・・定義をそのまま理解してください．
間違えた勝手な解釈をしてそれで進めてはいけません．
>「g(g'x)＝(gg')x」だと思うのですが、
これ自体はただしいけども，
そもそもgxはLの方でしょう？
Rはxg^{-1}って定義されてるでしょう？

R(g,x)=xg^{-1}なんだから
R(gg',x) = x(gg')^{-1} = x (g'^{-1} g^{-1})
=(xg'^{-1}) g^{-1}
=R(g,(xg'^{-1}))
=R(g,R(g',x))
でしょう？
思い込まないで定義に従うだけです．

お礼

本当にどうもありがとうございます。

加群の左と右の所でも苦労したのですが、
全然進歩がないです・・・。

>x(gg')^{-1}
そうですよね、ｇ’も＾(-1)の中に組み込むんですよね・・・。
何で分からなかったんだろう・・・。

どうもありがとうございました。
理解ができてまたやる気が出てきました。
引き続き代数を頑張ります。

回答No.1

ojisan7

右移動で逆元を取るのは、群の作用をφ(g,φ(φ',x)=φ(gg',x)
と定めたからです。
R(g,x)=xg^(-1}とすれば、上の規則は成り立ちますが、
R(g,x)=xgとすると、成り立ちませんね。ご自分で、確認して下さい

お礼

ご回答どうもありがとうございます。
「φ(g,φ(φ',x)=φ(gg',x)」というのは
「g・(g'・x)＝(gg')・x」のことですよね？

ここでは群の積なので、
「g(g'x)＝(gg')x」だと思うのですが、
なぜgだと成り立たずに、g^(-1)だと成り立たないのかが
さっぱり分からないのですが・・・。

あと1、2行でいいのでヒントを頂けないでしょうか？
よろしくお願いします。

補足

訂正です。

>なぜgだと成り立たずに、g^(-1)だと成り立たないのかが
なぜgだと成り立たずに、g^(-1)だと成り立つのかが

でした。