全称記号と存在記号について

質問

(∃a ∈ G)(∀b ∈ G)
と
(∀a ∈ G)(∃b ∈ G)
の違いがよく分かりません。混乱してしまいます。
左から解釈していけばよいのでしょうか？

回答No.1

stomachman

> (∃a ∈ G)(∀b ∈ G)
> と
> (∀a ∈ G)(∃b ∈ G)

　こんなへんてこりんで意味のない記号列を実際に使うなんてこと、アリエナイでしょう。そうじゃなくて、おそらくご質問は、
　　∃a∈G, ∀b∈G, P(a,b)
だとか
　　∀a∈G, ∃b∈G, P(a,b)
のような書き方についてだと思います。

●まず第一に、
　　∃a∈G, P(a)
　は正式の記法ではない、ということを知ってください。正式には
　　∃a(a∈G ∧ P(a))
と書くべきもので、この命題の意味は「あるaが存在して、aはGの要素であり、かつ、P(a)である」ということです。
　また、
　　∀a∈G, P(a)
の正式な書き方は
　　∀a(a∈G → P(a))
であり、この命題の意味は「任意のaについて、もしaがGの要素であるならば、P(a)である」ということです。
　（正式に書くと「∧」と「→」の部分が異なるのに、どっちも同じ格好に略記している。それが混乱の第一の原因だろうと思います。）

●略記法が出て来たら、正式な形に書き直してみれば、意味がはっきりします。たとえば
　　∃a∈G, ∀b∈G, P(a,b)
という略記法は、正しく書き直すと
　　∃a(a∈G ∧ ∀b(b∈G → P(a,b)))
である。つまり、「あるaが存在して、aはGの要素であり、かつ、（任意のbについて、もしbがGの要素であるならば、P(a,b)である）」ということですし、
　　∀a∈G, ∃b∈G, P(a,b)
という略記法は、正しく書き直すと
　　∀a(a∈G → ∃b(b∈G ∧ P(a,b)))
すなわち、「任意のaについて、もしaがGの要素であるならば、(あるbが存在して、bはGの要素であり、かつP(a,b)である）」ということです。

●全称記号、存在記号（両方合わせて限量子と言います）の書き方は、
　　∀xP
　　∃yP
のように、∀か∃の後ろに変数（この変数のことを「束縛変数」と言います。）を書いて、それを論理式Pの前に付けるんです。論理式Pは自由変数xやyを含んでいても（いなくても）良い。そして、Pには既に限量子が付いていても（いなくても）良い。なので、例えば
　　∃N∀n∀xP(N,n,x)
のように、ひとつの論理式に限量子を幾つも重ねて付けることが出来ます。これは、
　P(N,n,x)はN,n,xの３つの自由変数を持つ論理式、
　∀xP(N,n,x)はN,nの２つの自由変数を持つ論理式、
　∀n∀xP(N,n,x)はNという１つの自由変数を持つ論理式、
　∃N∀n∀xP(N,n,x)は自由変数を持たない（閉じた）論理式、
という風に解釈する訳です。