直角に交わる2直線を含む平面の方程式

質問

Z＝ax + b　と　Z=ｃy + d　で表される直角に交わる直線があるとします。
この2直線を含む平面の方程式は、どのように求めればよろしいのでしょうか？
　基礎的で申し訳ありませんがよろしくお願いします。

回答No.4

noname#59437 · ベストアンサー

回答が全ての場合を網羅していなかったので、補足します。

Z=ax+b　と　Z=ｃy+d　の二直線は常に交わるとは限らない。
そのような場合、二直線を含む平面を求めることはできない。
今の場合、b≠d であれば、x=0、y=0 において、二直線は
Z軸上異なった値をとるので交わることはないので、平行移動
させれば両直線を含むことのできる平面を求めたのであった。

両直線が交わる場合、つまり、b=d の場合、Z座標の方をずらし、
Z-b=Z-d を新しい座標、Z' にとれば、Z'=ax、Z'=cy となり
既に述べたと同じような方法で
-ax-cy+{1・(Z-b)}=0、あるいは、-ax-cy+{1・(Z-d)}=0 となり
Z=ax+cy+b、または、Z=ax+cy+d が得られる。

お礼

大変わかり安い御説明ありがとうございました。
理解することができました。
これでGWすっきり過ごせそうです。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#59437

x、y の座標をずらし、X、Y座標とし、Z=ax+b と Z=y+d の二つの直線が
新しい座標の原点を通るようにする。
新座標での直線の式は、Z=aX、Z=cY である。
これら直線の示すベクトルは、それぞれの X、Y座標が 1 の時の点を終点
とするものを取り上げれば、(1,0,a)、(0,1,c) である。
両ベクトルに直交するベクトルは外積で表わされ、(-a,-c,1) であるので
これを法線ベクトルとする平面の式は、-aX-cY+Z=0　であり、
元の座標との関係、Z=aX=a{x+(b/a)}、Z=cY=c{y+(d/c)} を用いると
-a{x+(b/a)}-c{y+(d/c)}+Z=0
従って、求める式は、Z=(ax+b)+(cy+d)　である。

補足

素晴らしい御回答ありがとうございます。
過程は理解できたつもりですが、平面の方程式が理解できていないのか素朴な疑問が沸きました。
得られた平面の方程式Z=(ax+b)+(cy+d)において、xz平面(y=0の時)では
Z=ax+b+d、yz平面(x=0の時)では、Z=cy+b+dとなり、それぞれ元々の各平面上の直線のZ=ax+b と Z=cy+d に一致していません。

2つの直線を含む平面なら、得られた平面の方程式においてx=0の時、y=0の時でZ=ax+b と Z=cy+d に一致するような感じがするのですが・・・。どこか私の考え間違っているかと思いますので、御教示頂けましたら幸いです。

回答No.2

okada2728

補足を読んでも意味がわかりません。
改めて問題だけ書き出してください。

補足

御回答ありがとうございます。
xyz3次元空間内の
xz平面にz=ax+b、yz平面にz=cy+d　(a,b,c,dは定数)で表される2つの直線があり、z軸上で交わっているとします。
この2つの直線を含む平面の方程式はどのように求めればよいでしょうか？　　
あるいは、何か参考になるサイト御存知でしたら教えて頂けませんでしょうか？

回答No.1

koko_u_

えーと。xyz-座標系の 3次元空間で考えているとして。

z = ax + b (a, b は定数) は平面の方程式ですよね？
「この２直線」とはどれですか？補足にどうぞ。

補足

すみません。
Z＝ax + bと、Z=ｃy + d　を「この２直線」、直線の方程式として書かせて頂いたつもりでした。
xyz-座標系の 3次元空間で直線を表す方程式から忘れてしまっているみたいです・・・。