行列の掛け算

質問

ってどうしてああいう計算方法なのでしょうか?

どういう考えからああいう計算方法が生まれたのでしょうか？

回答No.4

marpon · ベストアンサー

>自分なりに解釈したのですが、この解釈で合っているのでしょうか。

だいたいあってると思います。厳密に説明しようとすると抽象的になって余計わかりにくいかもしれまえんので。

>線形写像fというのは関数みたいなものだと思うので、

ほぼ同義ですが、写像の方がやや意味が広いです。
集合Uのどの要素にも集合Vの要素1つを対応付けるとき、これをUからVへの「写像」といいます。特にVが実数または複素数のときに関数ともいいます。

ベクトルu,v、任意の体a,bについて
f(a u + b v) = a f(u) + b f(v)
が成り立つときにfを線形写像といいます。

お礼

先生が写像は関数のお化けといっていたのですが、fの中が何かと言うような違いだったのですか。

2回目の回答ありがとうございました。

回答No.3

mmky

「どうしてああいう計算方法なのでしょうか? 」
＃１、２さんの説明がありますが、行列式のもとは連立方程式（鶴亀算）を解くところからきています。
「どういう考えからああいう計算方法が生まれたのでしょうか？」たぶん連立方程式の式を足したり引いたりしないで解ける方法を考えたんだと思いますが、頭の中が碁盤の目のようなチェスとか将棋の好きな人だったのかも知れませんね？

というこことで、まず連立方程式をといてみましょう。
連立方程式は以下のようにしておきます。

Ax+By＝E 　(1)
Cx+Dy＝F　 (2)

ｙを消す　D×(1) B×(2)
ADx+BDy＝DE
- BCx+BDy＝BF
---------
（AD-BC)x = DE-BF 　 (3)
x=(DE-BF)/（AD-BC)　　 (5)

ｘを消す　D×(1) B×(2)
　ACx+BCy＝CE
- ACx+ADy＝AF
　---------
(BC-AD)y =CE-AF 　 (4)
y=-(AF-CE)/（AD-BC)　　 (6)

答えの(5)、(6)をみると、分母の計算は右下、左上の掛け算
分子も同じにできますね。右下、左上です。
| A B | | E B | | A E |
| C D | | F D | | C F |
=AD-BC =DE-BF =AF-CE
というわけで、このへんな計算をするとカッコ内に係数を入れ替える
だけで連立方程式の答えが出るんですね。
ものぐさには、右下、左上だけ覚えとけばＯＫということで、これが
行列という数学に発展したのですね。
使い勝手は、好き嫌いがありますので、
ということでわかったかな・・・？？

お礼

＞連立方程式の式を足したり引いたりしないで解ける方法を考えたんだと思います
ということは連立方程式で行列という概念を作って、右から掛ける方は列を増やせるぞ、ということで正方行列同士などの掛け算が生まれたのですね。でも、高校では、正方行列同士などの掛け算を習って、その後に、実は連立方程式は行列で表せる。と習ったのですが、高校生に分かりやすいように順番を入れ替えていたのですね。

回答ありがとうございました。

回答No.2

siegmund

eatern27 さん：
> 線形写像fというのは関数みたいなものだと思うので、
> y＝f(x)のとき(この表現が正しいのかはわかりませんが)、
> xをyにするにはＡ(を掛ける)という操作を行うと事とする。
> gについても同様にＢという操作を行う事とする。
> y=f・g(x)のときにxをyにする操作をＡＢ(を掛ける)という操作にするためには、
> ＡＢの掛け算はああいう計算にならなければならない。

写像と関数は使い分けをする場合もあるようですが，同じ意味でしょう．
eatern27 さんの解釈はまさにそのとおりです．

もともと，行列は
（１）　ax + by
（２）　cx + dy
の形の係数を
（３）　┌　　　┐　
　　　　│ａ　ｂ│
　　　　│ｃ　ｄ│
　　　　└　　　┘
と並べて書いたものでしょう．(1)(2)式を再現するには
（４）　┌　　　┐┌　┐　┌　　　　　┐　
　　　　│ａ　ｂ││ｘ│＝│ａｘ＋ｂｙ│
　　　　│ｃ　ｄ││ｙ│　│ｃｘ＋ｄｙ│
　　　　└　　　┘└　┘　└　　　　　┘
と積の形にして，ご承知のとおりの行列×ベクトルの積の法則をつければ右辺のようになるわけです．

で，今度は行列同士の積ですが，行列 A,B とベクトル Z
（５）　　┌　　　┐　　　　┌　　　┐　　　　┌　┐　
　　　Ａ＝│ａ　ｂ│　　Ｂ＝│ｅ　ｆ│　　Ｚ＝│ｘ│　
　　　　　│ｃ　ｄ│　　　　│ｇ　ｈ│　　　　│ｙ│
　　　　　└　　　┘　　　　└　　　┘　　　　└　┘
を持ってきて
（６）　A(BZ) = (AB)Z
という法則(結合法則)が常に成り立つようにします．
(6)の左辺は既に決められている行列×ベクトルの積の法則で順次計算できます．
これと結果が同じになるようにするには AB を
（７）　　　┌　　　　　　　　　　　┐
　　　ＡＢ＝│ａｅ＋ｂｇ　ａｆ＋ｂｈ│
　　　　　　│ｃｅ＋ｄｇ　ｃｆ＋ｄｈ│
　　　　　　└　　　　　　　　　　　┘
と定義すればよいわけで，ご存知のとおりの行列の積の約束になります．

なお．行列は縦ベクトルを横に並べたもの(上の例では２個のベクトル)を見なすこともできるわけで，
そちらの立場からも上の行列の積の定義は合理的のように思われます．

一度構成ができてしまえば，「演算規則をこういう風に定義する」になるんでしょうけれどね．

お礼

(4)で［ｘ ｙ］とx,yを横に並べておけば、掛け算でどっちが縦だっけ?なんて言うことにはならなかったんですけどね。(今はもうありませんが、初めて習った頃は…) でも、そうしてしまうとまた別の所でまた問題が出てきてしまうんでしょうね、きっと。x，yを縦に並べるのが一番問題が生じない形なんですね。

今思うと、行列に始めて出会ったのは中学のときでした(行列という言葉は知りませんでしたが)。塾でやったのですが、1つ1つ何と何を掛けて、それに加えるのは何と何を掛けたやつ…ということをやっていたので頭がパンクしそうでした。

回答ありがとうございました。

回答No.1

marpon

質問の内容からして、質問者は高校生くらいと仮定して書きます。
高校では単に数字を長方形に並べたもの、と説明しますので、なんでああいう計算になるのかと思うかもしれません。

理系の人の多くは大学１回生で「線形代数学」というのを学ぶと思うので、そうすれば意味はわかると思います。

大学では行列は線形写像の表現と考えますので、
線形写像fの表現行列をA、線形写像gの表現行列をBとしたとき、線形写像f・gの表現行列がABとなるには、ABの掛け算はああいう計算にならなければならないんです。

ぜんぜん回答になってないかもしれませんし、余計混乱させただけかもしれませんが、ちゃんと意味はあるということです。

とりあえず高校のうちはそういう決まりだとわりきるか、興味があるようだったら書店で「線形代数学」という参考書を買って読むことを勧めます。

お礼

学校ではベクトルの内積の説明はしてくれたのですが、意味は分かりませんでした。だから、実際に答えて頂いても、完全に理解できないだろうなと思いながらも質問したのですが、意味があるということが分かっただけでもよかったです。

回答ありがとうございました。

補足

自分なりに解釈したのですが、この解釈で合っているのでしょうか。

線形写像fというのは関数みたいなものだと思うので、y＝f(x)のとき(この表現が正しいのかはわかりませんが)、xをyにするにはＡ(を掛ける)という操作を行うと事とする。gについても同様にＢという操作を行う事とする。y=f・g(x)のときにxをyにする操作をＡＢ(を掛ける)という操作にするためには、ＡＢの掛け算はああいう計算にならなければならない。

全然違うのか、こんな感じでいいのか、だけでもかまいません。