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板の移動距離
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まず、座標を設定します（物理の問題は座標設定は必ず必要です）。 人が最初に立っている板の右端を、座標０地点とし、左の進行方向を正とします。 ”なめらかな”ということは、板は、接地面からの摩擦を受けないということです。 すると、板は（重力以外は）乗っている人としか、力を受けません。 さて、運動方程式を立てるのが勉強のためにはいいのですが、力は人と板の間でしか働かないので、いきなり運動量保存の法則から行っていいでしょう。 ある時の板の速度をＶ、人の速度をｖとし、その時に位置をそれぞれ、ｘ、Ｘとしましょう（人の進行方向を正）。 最初は、人は板の上に立っていたので、初速度は板も人も、０です。 すなわち、運動量保存則から、 ｍｖ+ＭＶ＝０ ・・・（＊） となります。 ところで、時間をｔと置くと、ある時間幅Δｔの間に、距離Δｘ移動した時の速度ｖは、 ｖ＝Δｘ/Δｔ ですから、（＊）式は、 （＊） ＜＝＞ ｍ（Δｘ/Δｔ）+Ｍ（ΔＸ/Δｔ）＝０ ・・・（＃） となります。両辺にΔｔをかけて、 （＃） ＜＝＞ ｍΔｘ + ＭΔＸ = ０ ここで、ΔｘとΔＸは、人と板が、それぞれ移動した距離で、最初の位置を０としたので、 Δｘ＝ｘ-０＝ｘ、ΔＸ＝Ｘ-０＝Ｘ つまり、 （＃） ＜＝＞ ｍｘ+ＭＸ=０ ・・・（＄） となります。 知りたいのは、人が板の右端から、左端まで歩いた時のＸの値ですよね。 ここで、重要なのは、人は板の上を距離Ｌだけ歩いてるのですから、 必ず人は、板の右端の位置から距離Ｌだけ左に（正方向に）移動していることになります。 すなわち、 ｘ-Ｘ=Ｌ という関係が成り立ちます。これにｍをかけて、（＄）との差を取ると、ΔＸが求まります。 向きに注意してくださいね。 ΔＸは負、すなわち右向きに板は動くのです（人が歩く方向と逆・・・作用反作用ですからね＾＾；）。
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- nubou
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ｔを時間の変数とし 水平面の１点をＰとし Ｐを原点とした人の重心の位置ベクトルをｒ（ｔ）とし Ｐを原点とした板の重心の位置ベクトルをＲ（ｔ）とし 板が人に加える力ベクトルをＦ（ｔ）とし 人が板に加える力ベクトルをｆ（ｔ）とし 人が歩き始めた時間を０とし歩き終わった時間をＴとすると ニュートン第２・３則より ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＝Ｆ（ｔ） Ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・Ｒ（ｔ）＝ｆ（ｔ） Ｆ（ｔ）＋ｆ（ｔ）＝０ これより ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＋Ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・Ｒ（ｔ）＝０ ｄＲ（０）／ｄｔ＝０でありｄｒ（０）／ｄｔ＝０であるから上式を積分して ｍ・（ｄ／ｄｔ）・ｒ（ｔ）＋Ｍ・（ｄ／ｄｔ）・Ｒ（ｔ）＝０ 上式を積分して ｍ・（ｒ（ｔ）－ｒ（０））＋Ｍ・（Ｒ（ｔ）－Ｒ（０））＝０ 従って ｒ（ｔ）－ｒ（０）＝－（Ｒ（ｔ）－Ｒ（０））・Ｍ／ｍ 条件より｜（ｒ（Ｔ）－Ｒ（Ｔ））－（ｒ（０）－Ｒ（０））｜＝Ｌであるから ｜（ｒ（Ｔ）－ｒ（０））－（Ｒ（Ｔ）－Ｒ（０））｜＝Ｌ よって ｜Ｒ（Ｔ）－Ｒ（０）｜・（Ｍ／ｍ＋１）＝Ｌ よって ｜Ｒ（Ｔ）－Ｒ（０）｜＝Ｌ・ｍ／（ｍ＋Ｍ）
お礼
回答ありがとうございました。 後ほど、ゆっくり拝見させていただきます。
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