円柱に内接する４球の半径から円柱の半径と高

質問

半径３の球４個が互いに外接しながら円柱に内接している。３個は底面に乗っており、残りの１個は３個の上に乗って上の面に接している。
このとき、円柱の半径は？また、底面から球の上端までの高さは？
を教えてください。
中学生の息子の勉強を見ているのですが、田舎暮らしで塾もありません。これまで何とかこなしてきたのですが、たまに全然わからない問題があります。そろそろ潮時かと思うのですが、この問題はわからなくて夜もねむれません。よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

下の３個の球の中心と、３球の接点、計６点が
ひとつの平面上にあることは、わかりますか？
この断面を作図すれば、円柱の半径が求まります。

４球の中心を各頂点とする三角錐は○○○体です。
○○○を埋めると、三角錐の高さがわかります。
円柱の高さは、三角錐の高さ＋球の半径×２ですね。
先の平面と垂直なスクリーンに投影して考えましょう。

お礼

考え方を教えていただきありがとうございます。
球の中心で考えればよいのですね。なるほど・・・。
なかなかそういう発想ができないですね。ありがとうございました！！

回答No.2

fuuraibou0

３個の球の中心を　Ａ，Ｂ，Ｃ　とすると、△ＡＢＣ　は　１辺　６　の正三角形で、△ＡＢＣ　の中心を　Ｄ　とすると，△ＡＢＤ　は　∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＤ＝３０°とする二等辺三角形で，ＡＤ＝ＢＤ＝２√３、（内角を　３０°，６０°，９０°とする直角三角形の３辺の比は、２：１：√３＝２√３：√３：３　です）

よって，円柱の半径は　（３＋２√３）

また、底辺から球の上端までは，３＋２√３＋√３＋３＝３(２＋√３)　です。

お礼

解答ありがとうございました。
簡潔でわかりやすかったです。