無次元数は「数」か「量」か

質問

こんにちは．当方，化学工学を専攻する大学院生です．
応用数学や流体工学に興味があるものの，何分不勉強でございます．
どうかお教え下さい．

はじめに，数と量の基本概念についてお尋ね致します．

個人的には，
「数に何らかの測定量（単位）を付与したものが量である．」
と認識致しておりますが，この解釈は正しいのでしょうか．

また，逆に「数とは何か？」と問われると，萎縮してしまいます．
「物理的・工学的には，測定量の大きさを表すのが数である．」
という解釈で宜しいのでしょうか．

以上を踏まえた上で，本題でございますが，

レイノルズ数（慣性力と粘性力の比）
アスペクト比（縦横比）
分離係数（分配係数（ある成分の２相間における組成比）の比．すなわち，比のそのまた比）

等の無次元数は，はたして数なのでしょうか，量なのでしょうか．
個人的には，それぞれの数値自体が物理的意味（流動状態，物体の形状，分離のしやすさ）をもちますので，すべて量なのかな，と思います．

いかがでしょうか．宜しくご教示いただけると幸いです．

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

再び SI を参照すると....
「無次元量」=「次元 1 を持つ量」であり, そのような量を表す単位記号は (普通は表記しないけど)「数字の 1」となります.
あと, 「m^0 や kg^0 などは『数字の 1 に等しい』とみなされる」と書いてあります.
ん～, でも「円周率は量か」と言われると困るなぁ. なんかそんなイメージがない....

参考URL：

http://www.nmij.jp/chishiki/SI8J.pdf

お礼

Tacosanさん，貴重な資料をご提供下さり，ありがとうございます．
１という名の次元は存在するのですね．文書にしっかり書いてありました．

円周率についてですが，無理数という名の「数」にあたるのではないでしょうか．

Wikiによりますと，円周率はネイピア数や黄金比等と同様，数学定数という枠組みにあたるようです．
私はつい先程まで，円周率の定義は「円周÷直径（物理量の比）」であると思いこんでいたため，「円周率は量である．」と解釈致しておりました．

しかし，比ではなく，ネイピア数のように数式で円周率が定義されることを認めるならば（Wiki「円周率」参照），
円周率は数学定数という名の面をかぶったただの無理数，したがって「数」ということになるのではないでしょうか．

円周率も重力加速度も共に「定数」ですが，前者はそもそも測定（計量）できない「数」であり，後者は測定（計量）できる「量」にあたると考えられます．
また後者はSIの定義に従い，力（「量」）と質量（「量」）の比なので「量」である，という解釈でもよいでしょう．

ご返信いただかなければ，ここまで詰めることはなかったと思います．
改めて感謝致します．お付き合いいただき，ありがとうございました．

回答No.5

nzw

物理の単位は、次元の概念と密接に結びついています。

　物理量どうしの足し算ということをすることがよくあるかと思いますが、
この足し算は、同じ次元の物同士でないと絶対できないというルールが
あります。
　たとえば、長さと重さは足すことができません。

　一方、かけ算は、任意の次元の物理量間で行うことができますが、
積はもともとの物理量と違った次元を持ちます。この例外が、無次元量
で、無次元量をかけてももともとの物理量と同じ次元になります。
「次元１を持つ」という意味は、たとえば「ｋｇの次元を持つ」とは
根本的に異なる意味を持ちます。次元１以外の次元は、積をとるごとに
どんどん違う次元になって行きますが、次元１のみそのままの次元が
ほぞんされます。群論の単位元のように、非常に特殊なものです。

　このいくら積をとっても次元が変わらないというのは、非常に重要
な性質です。たとえば、exp（x）を展開すると、

exp(x) = 1 + x + (1/2)x^2 + ...

と異なる次数のxの和になります。xが１以外の次元を持つと、この
量を考えることができなくなります。

　次元解析について、まだご存知ないのでしたら、一度勉強されて
みてもいいかと思います。
http://www.amazon.co.jp/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E3%81%8C%E3%82%8F%E3%81%8B%E3%82%8B%E3%81%A8%E7%89%A9%E7%90%86%E3%81%8C%E3%82%8F%E3%81%8B%E3%82%8B%E2%80%95SI%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB%E3%81%AE%E6%88%90%E3%82%8A%E7%AB%8B%E3%81%A1%E3%81%8B%E3%82%89%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB%E3%81%BE%E3%81%A7-%E8%AA%AD%E3%82%93%E3%81%A7%E6%A5%BD%E3%81%97%E3%82%80%E6%95%99%E7%A7%91%E6%9B%B8-%E5%92%8C%E7%94%B0-%E7%B4%94%E5%A4%AB/dp/4860640136

お礼

nzwさんの親切かつ丁寧なるご解説により，次元に関する理解が進みました．心より御礼申し上げます．
次元解析は化学工学における最重要項目のひとつにあたるため，大変興味深いのですが，これといった成書が見当たらず，仕方なく洋書に目を向けていた次第です．
この度はご本を推薦下さり，大変助かりました．さっそく読んでみたいと思います．

回答No.3

b_bb

横レスすみません

>#2
おおそうなのですか。知りませんでした。ありがとうございます。

お礼

b_bbさん，公開プロフィールを拝読させていただきました所，
登録日が小生と同じですね．

今後とも同じ工学屋として，栄えて参りましょう．
宜しくお願い致します．

回答No.2

Tacosan

ん?
「無次元量」という表現はするはずですが＞#1
SI の文書でも「無次元量」(dimensionless quantity) という表現は使われています. それらに対しては「数字 1」が単位である, としています. そのような無次元量の例として屈折率, 比透磁率や摩擦係数など「同一の SI 単位の比として表現される量」, あるいはレイノルズ数など「無次元になるように定義された特性数」, もしくは分子数や縮退度など「個数を表す数」などが挙げられています.

お礼

Tacosanさん，お教えいただき，ありがとうございます．

無次元量は，数字１の「何倍」に相当する相対的な数量，ということですね．
そう致しますと，アスペクト比，円周率，レイノルズ数は同じ次元の比ですので，無次元量です．単位「数字１」が存在しますので，これは「量」にあたりそうです．
ここで，無次元「数」はあくまで慣用名であり，厳密には「単位１」をもつ「量」である，という解釈で宜しいでしょうか．
また，単位としての「数字１」は，次元に相当するのでしょうか．それとも，数学的な要請からくる特例みたいなものなのでしょうか．
もう少し厳密に学んでみたいと思います．

それにしても，測定により得られた数値のみが「量」とは限らないのですね．
大変勉強になりました．思考の場を与えていただき，心より御礼申し上げます．

回答No.1

b_bb

学部四年の機械系(流体)専攻ですので話半分にお聞きください。

僕も数に何らかの測定量を付与したものが量であるという認識を持っていて、今までそれで不都合を感じたことはありません。

逆に僕は数は次元のないものすべてと認識しております。
（無次元数っていいますけど無次元量っていいませんから）

ただ次元のないものすべてでもレイノルズ数などは意味をもちますね。
ですから数は無意味な数と意味のある数の二通りに分けられると思います、が、やはり無次元"数"というのでこれらは両方とも"数"というのだとおもっております
（他は知りませんがReynolds numberといいますし各国共通なのでは？）

個人的には　値(それ自体は無意味)、数(意味のある無次元)、量(次元あり)　と言い分けてもいいと思いますけど、言い方決めてもたぶんあまり得がないのでｗ

お礼

b_bbさん，ご回答下さり光栄です．
大変興味深く拝見させていただきました．

なるほど，「値」という概念を用いると，うまく説明できそうですね．斬新的です．

b_bbさんのお考えによりますと，レイノルズ数は「数」（意味のある無次元）とのことでした．
同じように考えますと，フルード数，マッハ数，ビオ数の類は確かに物理的意味があるため，「数」ということになります．

それでは，無次元数の範疇をもう少し拡張致しまして，固有値，円周率，黄金比といった，本来数学的に導かれる無次元数は，いかに分類されるのでしょうか．

特に固有値については，数学的意味（もたせてよいのかどうかについてはいささか懐疑的）としては「固有ベクトルの定数倍」ですし，
物理や工学で算出される固有値は，取り扱う系によってもつ意味が様々です．

同じ「固有値」でも，たとえば，数学においては意味のない「値」として扱われ，
反面，物理や工学においては，物理的に意味のある「数」として扱われる，といったことが起こりうるのでしょうか．疑問です．

収拾がつかず，申し訳ございません．
大変貴重なアイデアとコメントを賜りました．心より感謝申し上げます．