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複素数の特異点について
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＞積分範囲はz=3(cosθ +i sinθ) , 0≦θ＜2 0≦θ＜2π …(A) の転記ミスだと思いますが違いますか？ (A)が正しければ積分経路は、原点を中心とする半径3の円周です。 「正則」については ＞と、あるのですが、イメージできません。 イメージできないのは正則の意味が理解できていない為です。 正則の定義を教科書や参考書で復習しなおして下さい。 http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch2.pdf http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0 特異点のない連続な領域は複素関数 1/(z-1) の正則な領域です。 正則領域内では積分経路は任意に変形できますから z=1の回りの反時計回りの円周の周回積分になります。 その周回積分経路内にz=1の特異点z=1が存在することになります。 積分は一次の特異点だけで値を持ち、留数定理により、 1/(z-1)の留数R=1から積分は ∫1/(z-1) dz = 2πiR = 2πi となります。
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- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
テスト前にその状態では、確かにピンチかもしれません。 コーシーの積分定理を使って、手計算で値を導こうとしているようですが、 留数定理を使えば、答案は一行で済みます。教科書で定理を確認することを勧めます。 1/(z-1) が z=1 以外で正則であることは、実際に微分してしまえば確認できます。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>∫は左回りの周回です。 やんわりと typo を指摘してみたが駄目だったよ。 >この変形の前提である、「挟まれた領域」のイメージができず困っています 複素平面を書いて、線積分の軌道を書くだけ。 そして、この問題「より簡単に解くために、積分範囲を「z=1を中心とする半径1の円」に変換する」 必要など何処にもないと思われます。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>問）次の周回積分を求めよ >∫1/(z-1) dz 積分範囲はz=3(cosθ +i sinθ) , 0≦θ＜2 周回になっとらんのですが。 周回になってれば誰でもわかる問題です。
補足
∫は左回りの周回です。 言葉が足りず申し訳ありません。計算で問題を解くことはできるのですが、より簡単に解くために、積分範囲を「z=1を中心とする半径1の円」に変換するのです。 閉曲線に沿った周回積分を求めるには、被積分関数が正則な領域内で積分路を適当に変形して、積分が簡単に実行できるような積分路を選んで、周回積分を実行してよい性質を利用する解き方です。 この変形の前提である、「挟まれた領域」のイメージができず困っています
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