帰納法で示す数学的な式の性質
- 帰納法を用いて、数学的な式の性質を証明する方法について教えてください。
- 具体的には、5の2のx乗が2のx+2乗で割り切れることを示すための帰納法の手順と、5の2のy-2乗が2のy乗で割り切れることを示すための手順について説明してください。
- また、帰納法を用いた数学的な式の性質の証明について、具体的な例を挙げて説明していただけると助かります。
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帰納法
以下の2問について行き詰っているので教えてください。 I 5^2^x≡1{mod2^(x+2)},≡/[合同でない]1{mod2^(x+3))} であることをxに関する数学的帰納法で示しなさい。 II Iの結果を利用し、5^2^(y-2)≡1(mod2^y)(y≧2), 5^2^(y-3)≡/[合同でない]1(mod2^y)(y≧3)であることを示しなさい。 I (ⅰ)x=1のとき 5^2-1=24は2^3=8では割り切れるが、2^4=16では割り切れない。 よってx=1のとき成り立つ。 (ⅱ)x=kのとき与式が成り立つと仮定すると、 5^2^k≡1{mod2^(k+2)},≡/[合同でない]1{mod2^(k+3))} これを等式で書くと最初の式から 5^2^k=2^(k+2)・t+1 (tは整数) ・ ・ II (ⅰ)x=y-2とおくと… Iを使うための条件は? (ⅱ)y=2のとき与式は成り立つ。 どなたかこの先どのように解法すればいいか教えてください。よろしくお願いします。
- tbg
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>> 結論に飛びすぎです。 >> mod 2^(k+4) で 1 と合同でない件は? >そうでした、あれだと1と合同でない件についての証明になりませんね。 >5^2^x≡/[合同でない]1{mod2^(x+3))} >しかし、この式も等式でまず表すのでしょうか? >合同でない式を等式で示すことができません。 「○○でない ⇒ △△でない」を証明する良い方法は 「△△である ⇒ ○○である」を証明することですね。
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- koko_u_
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最後に一つだけ。 証明が出来た場合には自ずから正解とわかるものです。 改めて誰かに確認する必要はありません。
お礼
おつきあいいただきありがとうございました。 いろいろ勉強になりました。
- koko_u_
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>> やってみたのですか?どうでしたか? >5^2^(k+1)={2^(k+2)・t+1}^2 > =2^(k+3){2^(k+1)・t^2+t}+1 > よって、x=k+1のときも成り立つ。 結論に飛びすぎです。 mod 2^(k+4) で 1 と合同でない件は?
補足
> 結論に飛びすぎです。 > mod 2^(k+4) で 1 と合同でない件は? そうでした、あれだと1と合同でない件についての証明になりませんね。 5^2^x≡/[合同でない]1{mod2^(x+3))} しかし、この式も等式でまず表すのでしょうか? 合同でない式を等式で示すことができません。
- koko_u_
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>5^2^k-1は2^(k+2)で割り切れるが、2^(k+3)では割り切れないことを > 意味するということでしょうか? 合同式を日本語で言い直しただけです。もう少し考えましょう。 >そこからは、5^2^(k+1)=5^2^k×2=(5^2k)^2より両辺2乗していくという > 感じはどうでしょう? やってみたのですか?どうでしたか?
補足
> 合同式を日本語で言い直しただけです。もう少し考えましょう。 x=1のとき 25=2^4+2^3+1とおけることから 5^2^k=2^(k+2)・t+1(tは整数)は、5^2^k=α・2^(k+2)+β・2^(k+3)+1と表せるということでしょうか。 > やってみたのですか?どうでしたか? 5^2^(k+1)={2^(k+2)・t+1}^2 =2^(k+3){2^(k+1)・t^2+t}+1 よって、x=k+1のときも成り立つ。
- koko_u_
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>どなたかこの先どのように解法すればいいか教えてください 何もできていないも同然の状態です。 もう少し頑張ってから再度質問しましょう。 アドバイスとしては >これを等式で書くと最初の式から > 5^2^k=2^(k+2)・t+1 (tは整数) 2 番目の式から言えることは何ですか? そして I の命題は x = 0 でも成立することを確かめましょう。
補足
> 2 番目の式から言えることは何ですか? 5^2^k-1は2^(k+2)で割り切れるが、2^(k+3)では割り切れないことを 意味するということでしょうか? > そして I の命題は x = 0 でも成立することを確かめましょう。 x=0のとき5-1=4は2^2=4では割り切れるが、2^3=8では割り切れない。 よってx=0のとき成り立つ。 そこからは、5^2^(k+1)=5^2^k×2=(5^2k)^2より両辺2乗していくという 感じはどうでしょう?アドバイスよろしくお願いします。
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- 締切済み
- 数学・算数
補足
何度もレスをつけていただいてありがとうございます。 >「○○でない ⇒ △△でない」を証明する良い方法は >「△△である ⇒ ○○である」を証明することですね。 ということは、 5^2^k≡/[合同でない]1{mod2^(k+3))}⇒5^2^k≠2^(k+3)・t+1 (tは整数) 5^2^k=2^(k+3)・t+1⇒5^2^k≡1{mod2^(k+3))}であるから両辺2乗して、 5^2^(k+1)={2^(k+3)・t+1}^2 =2^(k+4){2^(k+2)・t^2+t}+1 となり、5^2^k≡/[合同でない]1{mod2^(k+3))}が成り立つ。 これでいいんでしょうか?