仕事

質問

高2です。
物理についての質問です。
質量mのおもりを軽いばねを用いて天井からつるしたら、ばねはaだけ伸びておもりはA点で静止した。
ばねの自然長の位置をB点、重力加速度をg、ばね定数をkとして次の問いを答えろ。

おもりをA点からB点まで持ち上げるのに要した仕事Wを求めよ。
答えは 1/2mga となっているんですが、求め方がわかりません、、、
誰か教えてください。。

回答No.1

BookerL · ベストアンサー

ばねのつりあいから、ka=mg はいいですね。また、重力による位置エネルギーは mgh というのもいいですね。

　さて、A から B までおもりを持ち上げると、おもりの位置エネルギーは mga だけ増えます。この増えた分は「持ち上げる力」と「ばねが上に引く力」の二つの力によってなされています。

　ばねが上に引く力で、a だけ伸びた状態から自然長に縮むまでにする仕事は、力の大きさが変化するので積分計算になります。積分を使わずに示すと、aだけ伸びているときの力が ka、自然長の時には弾性力は 0 なので、平均して (1/2)ka の力が働き、この力で a だけ縮むので、する仕事は 力×距離で (1/2)ka^2 となります。つりあいの関係から ka=mg なので、この仕事は (1/2)mga となります。

　おもりのエネルギーの増加分 mga のうち、ばねのした仕事が (1/2)mga なので、残りは持ち上げる力がしたことになり、こちらも (1/2)mga となります。

※弾性力による位置エネルギーを学習済みであれば、もう少し簡単に表せます。

　初めの力学的エネルギーの和
　　　重力による位置エネルギー 0 （つりあいの位置を基準とする）
　　　弾性力による位置エネルギー (1/2)ka^2
　　合計 (1/2)ka^2 これは (1/2)mga と等しい。

　あとの力学的エネルギーの和
　　　重力による位置エネルギー mga
　　　弾性力による位置エネルギー　0
　　合計 mga

　外からされた仕事は、初めの位置エネルギーと後の位置エネルギーを比べて増えた分ですから、
　　mga-(1/2)mga=(1/2)mga
となります。