図形の証明問題について

質問

例えば、図で示されているもののある一辺の長さが２であることを証明せよなんていう問題のとき、
その長さを２と仮定して、図から導いた関係式が既存の定理にあてはまれば、それで証明できたことになると思うのですが、
２以外でもその関係式が既存の定理に当てはまる可能性というか、
一意的に２となることを示さなければいけないのでしょうか？
というのも、一辺の長さを求めているのだから、長さが２つあるわけないと思うからです。答えらしきものが1つ見つかればそれが答えだということじゃないのでしょうか？

回答No.3

noname#47894

こういうのは、確かに悩ましいですね。

「一辺の長さを求めているのだから、長さが２つあるわけない」のは、気持ちとしては分かりますが、長さが定まらない場合もあるかもしれないので、「ただ一通りに定まる」ということが、証明できれば（あるいは既にあるそのような定理なり公式なりを使って保証すれば）、O.K.となります。

ただ単に、A　⇒　B　（AはBの十分条件）を示せといわれた場合は、B　⇒　A（AはBの必要条件）　を示してもただの間違いですが、A　⇔　B（AはBの必要十分条件）を示した場合は、AはBの十分条件であることも同時に証明してしまっていますから、必ずしも間違いではありません。

同様に、AはBの十分条件だが必要条件ではないことを示せ　といわれたのに、必要十分を示したら間違いです。このような場合は　A⇒Bを示した上で、B⇒Aが成り立たない反例を上げればO.K.です。

こういうのは意識していないと、思わぬ間違い（とまではいかなくても危ない橋を渡る）ことになるので、必要条件、十分条件を十分考慮すべきです。

回答No.2

Meowth

一意的に２となることを示さなければいけない
です。
というより、証明になっていない。
A ならば　Ｂ
を証明するのに
B ならば　Ａ
をしめしてもしょうがない。
命題Ａ 1+1=2 Bが1辺のながさが２
だとすると、
1辺のながさが２だと１＋１＝２が成り立つ
だから1辺のながさが２
といってもしょうがないでしょ。
対偶なら証明になりますが。

回答No.1

kabaokaba

抽象的なので抽象的になります．

>その長さを２と仮定して、図から導いた関係式が既存の定理にあてはまれば、それで証明できたことになると思う

一般にはなりません．
求めるものを使ったって意味はないです．
「ある条件を満たすときに，長さ2になる」
「長さ2のときに，ある条件を満たす」
まるで違うことです．

>一意的に２となることを示さなければいけないのでしょうか？

当然示さなければいけません．ただし，
もし，2以外の値はありえないことがわかって
なおかつ「答えが存在する」ということが
あらかじめ分かっているような場合は「2」が答えです．
「答えの存在」が不明な場合，
2では「既存の定理にあてはまる」としても
もしかすると「2も駄目」という可能性は消えません．
＃「既存の定理」とやらの内容に依存します．

>一辺の長さを求めているのだから、長さが２つあるわけないと思うからです。答えらしきものが1つ見つかればそれが答えだということじゃないのでしょうか？

「らしきもの」では駄目です．証明が必要です．
また「図に描いてある」ものが「すべての答え」だなんて
保証はありません．

山勘で「答えは2」とわかって，
それが確かに解であることを
確認したとしても，それは一つの解に過ぎません．
大抵の問題は「解を求めよ」というのは
「すべての解を求めよ」の意味です．
まれに「一つでもよいから解を例示せよ」みたいな問題がありますが
こういうときはきちんとその旨があります．

ただし「解があるのかすらわからない」という
問題に対して，「解が存在する」ことの証明として
実際に「解はこれだ！」と例示することはあります．
しかしそれは「解の存在」を証明しますが，
「解のすべてである」などということは当然主張しません．