図形の証明

質問

お世話になっております。添付画像をご覧下さい。

「図のように、直線G'Gに関して同じ側に二点A、Bがある。この直線上に点Pをとるとき、∠APG=∠BPG'ならば、AP+PBは最小であることを証明せよ」という問題です。

この証明の流れについて質問したいのですが、
まず∠APG=∠BPG'を示すのに、直線G'Gに関して点A、Bに対称な点をそれぞれA'、B'としてとり、AA'、BB'、AB'、BA'と線分をかけば、三角形の合同から、∠APG=∠BPG'が示せます。

このあとです。以上の補助線を引いたことから、定理(二点A、Bが直線gに関して同じ側にあるとき、例えば点Aのgに関する点をA'とすると、AP+PBが最短となる直線g上の点Pは線分A'Bとgとの交点である。…(1))を満たしますが、このままただ「ゆえに」と証明を終わらせて良いものでしょうか？それともこの問いは、定理(1)を証明しろ、という風に捉えた方が良いのでしょうか？

また、定理(1)と、この問題の∠APG=∠BPG'が成り立つことは必要十分になるのでしょうか。

分かりにくい質問でしたら、御指摘下さい。
宜しくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

証明を考えてみましたが、
＞定理(二点A、Bが直線gに関して同じ側にあるとき、例えば点Aのgに関する点をA'とすると、
＞AP+PBが最短となる直線g上の点Pは線分A'Bとgとの交点である。…(1))
がよく分かりません。
仮定が「AP+PBが最短となる」で、結論が「直線g上の点Pは線分A'Bとgとの交点である」
と言うことでしょうか？これは逆も言えるのでしょうか？

＞図のように、直線G'Gに関して同じ側に二点A、Bがある。この直線上に点Pをとるとき、
＞∠APG=∠BPG'ならば、AP+PBは最小であることを証明せよ」という問題です。
∠APG=∠BPG'は仮定なので、これは証明しなくてもいいと思います。
証明）
ＧＧ'に関して対象な点は、Ａと対象なＡ'だけとって、ＡＡ'とＧＧ'との交点をＨとすると、
△ＡＰＨ≡△Ａ'ＰＨ（１辺と両端の角が等しい）から、∠ＡＰＧ=∠Ａ'ＰＧ
仮定より、∠ＡＰＧ=∠ＢＰＧ'だから、∠Ａ'ＰＧ＝∠ＢＰＧ'
よって、
∠Ａ'ＰＢ＝∠Ａ'ＰＧ＋∠ＡＰＧ＋∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＧ＋∠ＡＰＢ＋∠ＢＰＧ'＝１８０度より、
点Ａ'，Ｐ，Ｂが一直線上にあることが言える。
ＰはＧＧ'上の点であるから、Ａ'ＢとＧＧ'の交点である。よって、定理（１）の逆より
ＡＰ＋ＢＰは最小である。

でどうでしょうか？定理（１）の逆が成り立てば証明できます。

これがダメなら、
ＧＧ'に関して対象な点は、Ａと対象なＡ'だけとって、ＡＡ'とＧＧ'との交点をＨとすると、
△ＡＰＨ≡△Ａ'ＰＨ（１辺と両端の角が等しい）から
ＡＰ＝Ａ'Ｐ　……（１）
∠ＡＰＧ=∠Ａ'ＰＧ　……（２）
（１）から、ＡＰ＋ＢＰ＝Ａ'Ｐ＋ＰＢ＝Ａ'Ｂ　……（３）
仮定より、∠ＡＰＧ=∠ＢＰＧ'
これと（２）より、∠Ａ'ＰＧ＝∠ＢＰＧ'
よって、
∠Ａ'ＰＢ＝∠Ａ'ＰＧ＋∠ＡＰＧ＋∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＧ＋∠ＡＰＢ＋∠ＢＰＧ'＝１８０度より、
点Ａ'，Ｐ，Ｂが一直線上にある。……（４）
（３）（４）より、ＡＰ＋ＢＰは２点Ａ'Ｂを結ぶ線分であるから、最小である。

でどうでしょうか？

＞また、定理(1)と、この問題の∠APG=∠BPG'が成り立つことは必要十分になるのでしょうか。
∠APG=∠BPG'は、Ａ'，Ｐ，Ｂが一直線上にあることを示すための条件のようです。
定理(1)と関係はあると思いますが、必要十分になるかどうかは良くわかりません。

回答になっていなかったら申し訳ありません。何かあったらお願いします。

お礼

返事が遅れて申し訳ありません。

恐らく2回目に御提示された証明がベストだと思います。同一直線上にあることと線分が等しい事を示す、には気付けませんでした。流石です。

加えて、当方が勝手に定理(1)と置いた定理(？条件と言った方が良いのでしょうか…)について、仮定と結論は正にご回答に記載された通りです。定理か成立条件なのかはよく分からないですが、正しく成立しているようです。

もやもやしていた物が晴れた感じです。ありがとうございました。

回答No.3

ferien

ANo.2です。　訂正をお願いします。

＞△ＡＰＨ≡△Ａ'ＰＨ（１辺と両端の角が等しい）から
は、△ＡＰＨ≡△Ａ'ＰＨ（２辺とその挟む角が等しい）　にして下さい。
理由は、
ＡＨ＝Ａ'Ｈ，角ＡＨＰ＝角Ａ'ＨＰ＝９０度，ＰＨ共通
だからです。

他に間違いなどあったら教えて下さい。

お礼

了解しました。　
結局当方の質問の仕方が下手だったようです。

拙い質問から、正鵠を射て下さり助かります。

回答No.1

B-juggler

はい。代数屋だから当てにしないでね。

えっと、ぱっと見た感じ「定理」ではないものを定理と呼んでいる気がします。

この場合だと、『２点間の最短を結ぶものが直線』が定理ですから、

直線ｇ　（これは正しく行くと、線分ＧＧ’だよね）　に対して、

対称な点Ａ’　と　点Ｂ　を結ぶ直線上に、交点Ｐが存在しているだけだからね。

（線分Ａ’Ｐの長さ）＝（線分ＡＰの長さ）とできれば、

それで証明は終わりでいいと思う。

　＃三角形の合同でできているから、問題はないと思うよ。

必要十分条件かどうか、これは検証してみた方がいいと思うけど、

結果的に、∠ＡＰＧ　＝　∠ＢＰＧ’　であれば、

三角形の合同が示すことができるので、いえるんじゃないだろうか？

幾何の専門家さんよろしくです。

ちょっと細かいけど、長さだから「線分」のはずだけど、

ＡＰ＋ＢＰ　としか書いてないねぇ・・・。今はこれでよくなったの？

　＃ベクトル絡むと、話がまるで見えなくなりそうで怖い・・・。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

返事が遅れてすいません。

　線分と添えていないことへの御指摘ですが、出典の教材は若干古めのものなので、多分良いのかと思います。

　図では、有限に見えますが、一応「直線」G'Gで扱っているようです。

何か誤解を招くような質問の内容になってしまったかも知れませんが、ご回答下さりありがとうございました。

参考に致します。