模試対策のプリントで(数学)

質問

以下の問題を教えてください！！

I．四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝２、ＢＣ＝１＋√３、∠ＤＡＢ＝１０５°、∠ＡＢＣ＝６０°、∠ＢＣＤ＝７５°である。

(１)対角線ＡＣの長さと、∠ＡＣＢの大きさを求めよ。

(２)△ＡＣＤの面積を求めよ。

(３)三角錐ＰＡＣＤが半径√３の球に内接するとき、三角錐ＰＡＣＤの体積の最大値を求めよ。

私の計算では

(１)対角線ＡＣ＝√７

　　∠ＡＣＢ・・・わかりません！！解き方を教えてください。

(２)面積ＡＣＤ＝(√３＋３)/２・・・・２分の(ルート３＋３)です

(３)さっぱりです！！解き方を教えてください。

以上で間違っている部分、そして解き方、答えを教えてください。
よろしくお願いします！！(急ぎです！！)

回答No.2

proto · ベストアンサー

必ず図を書きながら読んでくださいね。

(1)
△ABCだけを取り出して考えましょう
ACの長さは、AB,BC,∠ABCがわかっているので余弦定理より求められます。
私が計算すると√6となりました。

∠ACBの大きさは、AC,∠ABC,ABがわかっているので正弦定理から求められます。
私が計算すると、sin∠ACB=1/√2となり、∠ACB=45°となりました。

(2)
(1)の結果をもとに△ACDだけを取り出して考えましょう。
まず(1)の結果より、△ACDの内角すべての大きさがわかるはずです。
そこから△ACDがACを底辺とする二等辺三角形であることがわかります。
二等辺三角形ですので真ん中に真っ二つに補助線を引けばそれが高さになります。
底辺と角の大きさがわかるので高さも簡単に計算できて、あとは底辺×高さ÷2で面積が求まります。
私が計算すると、(√3)/2となりました.

(3)
三角錐PACDとありますが、基本的に△ACDを底面として考えましょう。
△ACDの面積はすでにわかっているので、球に接しながら高さが最大になるように点Pをとれば三角錐の体積も最大になるはずです。

で、まずはAもCもDも球に接しているはずですから、△ACDが内接する円の半径を考えましょう。
(球はどこで切っても切り口が円になります、ですから△ACDも円に内接することがわかります)
実際に△ACDが内接する円の図を書いてみて中心角と円周角の関係を考えると、△ACDは半径√2の円に内接することがわかります。

さて、続いて半径√3の球を考えて、切り口が半径√2の円になるのはどの位置で切ったときかを考えます。
これは球のを中心を通るように切った断面図を考え、半径などを補助線として引けば、半径√2の円の中心は球の中心と1離れていることがわかります。
ですから、高さが最大になる(点Pが最も△ACDから離れる)ような位置を考えると、先ほどの1に球の半径√3を加えて高さは1+√3となる事がわかります。
底面積と高さがわかったので、あとは体積を計算するだけです。
私が計算すると(3+√3)/6になりました。

文字だけではわかりにくいと思いますが、図をいくつも書いて数値も適宜書き加えて考えて見てください。
ちなみに、私の計算に間違いがあるかもしれませんがあしからず。

補足

これは球のを中心を通るように切った断面図を考え、半径などを補助線として引けば、半径√2の円の中心は球の中心と1離れていることがわかります。

と、ありますが、なぜ１とわかるのですか？
どなたでもよいので教えてください！

回答No.3

proto

＞これは球のを中心を通るように切った断面図を考え、半径などを補助線として引けば、半径√2の円の中心は球の中心と1離れていることがわかります。
＞と、ありますが、なぜ１とわかるのですか？

半径√3の球の中心と、半径√2の円の中心の両方を通る面で球を切りましょう。
球の断面に、円の直径が見えるはずです。
球の中心を通る補助線を二本ほど引いたら、球の半径を斜辺とする直角三角形が描けると思います。
球の半径は√3、円の半径は√2で、直角三角形のもう一辺が求めたい距離です。

直角三角形なので三平方の定理を使えば、求める長さは
　　√{(√3)^2-(√2)^2} = √1 = 1
となります。

どこに補助線を引くかが重要です、既知な値をうまく利用できるように補助線を引いてください。

お礼

なるほど、そういうことだったんですね。
ありがとうございます、助かりました！！

回答No.1

tecchan22

まあ便利な時代になったもんですねえ。

∠ＡＣＢ、きっと余弦定理で出そうとしたけれども、変な数になって出せなかったんじゃないですか？
そこで、ＡＣの計算ミスを疑いませんでしたか？

ＡＣを正しく求めれば、∠ＡＣＢも出ますし、△ＡＣＤの面積も正しく出ます。（上のは間違っています）

問題は(3)でしょうが、ヒントは、まず、△ＡＣＤの外接円を書くこと。
（外接円の半径を求める）
その上で、立体的な図を描けば求まるでしょう。

老婆心ながら数値の一部を記せば、
(2)√３／２
(3)高さの最大値が√３＋１

あとは自分で考えましょう。

お礼

やっぱり自分で解くのが大切ですよね。
全部出来た後でもう一度はじめからやってみようと思います！！