円に内接する四角形と三角形

質問

『円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝２、ＢＣ＝２、ＣＤ＝３、ＤＡ＝４とする。２つの対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとすると、ＢＥ：ＥＤの比はどうなるか』という問題がありました。解説がほとんどなく、“ＢＥ：ＥＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＣＤ”とだけあり、解答が“１：３”となっておりました。なぜＢＥ：ＥＤの比が△ＡＢＣの面積と△ＡＣＤの面積の比なのかわかりません。よろしくお願いします。

回答No.3

teloon · ベストアンサー

三角形の面積の比とは関係なく、解答の１:３を導き出す方法もあります。
まず△ＡＢＥと△ＤＣＥに着目します。
　∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＣ(対頂角）
　∠ＢＡＥ＝∠ＣＤＥ(ＢＣの円周角）
二角が等しいので
　△ＡＢＥ∽△ＤＣＥ
　ＡＢ:ＤＣ＝２:３から
　ＢＥ:ＣＥ＝２:３
次に△ＣＢＥと△ＤＡＥに着目します。
　∠ＣＥＢ＝∠ＤＥＡ(対頂角）
　∠ＢＣＥ＝∠ＡＤＥ(ＡＢの円周角）
二角が等しいので
　△ＣＢＥ∽△ＤＡＥ
　ＣＢ:ＤＡ＝２:４＝３:６から
　ＣＥ:ＤＥ＝３:６
したがって
　ＢＥ:ＣＥ:ＤＥ＝２:３:６
　ＢＥ:ＤＥ＝２:６＝１:３となります。

お礼

回答ありがとうございます。
返事が遅れてしまってすみません。
大変参考になりました。ありがとうごございます。

回答No.2

noname#47894

ＢＥ：ＥＤ＝△ABE：△ADE
ＢＥ：ＥＤ＝△CBE：△CDE

ここまではいいですか？
（高さが共通の三角形の面積比は、底辺の比に等しい）

あとは、加えてみれば分かることでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.1

abyss-sym

まず、Ｂ,ＤからＡＣに垂線をおろし、それぞれの交点をＰ,Ｑとします。
ここで、△ＢＥＰ∽△ＤＥＱですから、ＢＰ：ＤＱ＝ＢＥ：ＤＥ
三角形の面積比は底辺を共有しているので高さで決まります。
△ＡＢＣ：△ＡＣＤ＝ＢＰ：ＤＱ＝ＢＥ：ＤＥ

△ＡＢＣ＝2・2・1/2・sin∠ＡＢＣ
△ＡＣＤ＝3・4・1/2・sin∠ＡＤＣ

sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ だから△ＡＢＣ：△ＡＣＤ＝１：３

ゆえに、ＢＥ：ＢＤ＝１：３

お礼

回答ありがとうございます。
底辺を共有している、垂線をおろす、がポイントなのですね。大変参考になりました。ありがとうございます。