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1=0.99...とx＜1とx≦1
初めての質問です。 1=0.99...というのは、大方受け入れたのですが、このとき以下の疑問が。 「x＜1のとき、xは１に限りなく近い値まで大きくできる」→「x≦0.99...と同義」な気がしてしまうのです。こう解釈してしまうと「1=0.99...」より、x＜1とx≦1が同義になってしまいます。 勿論このようにはならないと思うのですが・・・ ご説明を宜しくお願いします。
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>感覚的には、x<1のとき ｘ＝0.9 ｘ＝0.99 ｘ＝0.999 ｘ＝0.99999999999999999999999999999999 これらはｘ＜1の範囲内にあります。では ｘ＝0.999......（9が無限に続く）のときも ｘ＜1の範囲内の値なのでは？と思ってしまうのです。 ｘ＝0.999......（9が無限に続く）はｘ＜1の範囲内の値ではありません。 書いてあることから、ausubahhaさんが0.999......（9が無限に続く）をどのように捉えているか失礼ながら勝手に類推させてもらいますと(間違っていたら教えて下さい。) 0.999......（9が無限に続く)＝1と捉えているのではなく、 0.999......（9が無限に続く)とは「x<1を満たすxの中で、1に最も近い実数」と捉えているように思えます。 ところが、「x<1を満たすxの中で、1に最も近い実数」は存在しません。したがって、「存在しない数」を0.999......（9が無限に続く)と名づけているように思えます。 正しくは、0.999......（9が無限に続く)＝1です。
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- a-saitoh
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1.000 と 0.9xyzw・・・・ という数が有ったとすると上の数の「1.」と下の数の先頭の「0.9」だけを見て，下の数の方が小さいと結論づけることが出来ます． これは，小学校からずっと学んでいる算数の知識から言えることです． しかしこれには落とし穴があります．このような数の比較手法は有限の桁数の数どうしの場合にしか適用できないのです． これに限らず，無限が絡んできたとたんに，日常生活の常識が通用しなくなることは数学にはいろいろあります(たとえば，『整数と偶数はどちらが多い？』とか）． x<1というと，xが0.99999という数だとしても，「いつかどこかの桁に9でない数字が現れるか末尾の桁が来る」ことを意味します． x=0.99999・・・は，「いつまでたっても9以外の数字は現れないし，末尾の桁に到達することもない」ことを意味します．
お礼
「無限」が登場した瞬間に話が別世界のようになってしまうんですよね。 どうしても「1-0.999....＝0.000.....」は「いつまでたっても0以外の数字は現れないし，末尾の桁に到達することもない」すなわち「0である」ではなく「いつまでたっても0以外の数字は現れないし末尾の桁に到達することもないが、それは末尾に1をつけることを永久に保留しているだげである」という気がしてしまうんです。
- gururinbus
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＞＞「x≦0.99...と同義」は意味がわかりません 言葉足らずで訳分からなくなってますね。すみません。「x＜1とx≦1が同義」という意味です。 ということは ＞「x＜1のとき、xは１に限りなく近い値まで大きくできる」→「x≦0.99...と同義」 は 「x＜1のとき、xは１に限りなく近い値まで大きくできる」→「x＜1とx≦1が同義」 を意味しているのですか？ 「x＜1のとき、xは１に限りなく近い値まで大きくできる」をさきほど、私が書いたように「どんな小さい正の数εを与えたとしても１－ε＜x＜1となる実数xが存在する」という意味だと解釈すると、 「どんな小さい正の数εを与えたとしても１－ε＜x＜1となる実数xが存在する」→「x＜1とx≦1が同義」となります。 したがって、「x＜1のとき、xは１に限りなく近い値まで大きくできる」→「x≦0.99...と同義」 とは 「どんな小さい正の数εを与えたとしても１－ε＜x＜1となる実数xが存在する」→「x＜1とx≦1が同義」 という意味になると思うのですが、ausubahhaさんの書いた、「x＜1のとき、xは１に限りなく近い値まで大きくできる」→「x≦0.99...と同義」の意味と一致していますか？ また、 ＞こう解釈してしまうと「1=0.99...」より、x＜1とx≦1が同義になってしまいます。 の 「1=0.99...」より、x＜1とx≦1が同義になるのはなぜですか？ 「1=0.99...」より「どんな小さい正の数εを与えたとしても１－ε＜x＜1となる実数xが存在する」が導かれるからですか？ 結論を先に書くと、 「どんな小さい正の数εを与えたとしても１－ε＜x＜1となる実数xが存在する」という主張は正しいです。 「x＜1とx≦1が同義」という主張は間違いです。 「どんな小さい正の数εを与えたとしても１－ε＜x＜1となる実数xが存在する」→「x＜1とx≦1が同義」という主張は間違いです。 「1=0.99...」より「どんな小さい正の数εを与えたとしても１－ε＜x＜1となる実数xが存在する」が導かれるという主張は、おそらく間違っています。 しかし、 「1=0.99...」→「どんな小さい正の数εを与えたとしても１－ε＜x＜1となる実数xが存在する」という主張は正しいです。 ウィキペディアの「0.999...」という記事はご覧になりましたか？ ここの「教育現場でのとまどい」における0.999... と 1 が等しいことを理解できない共通の要因として、あげられていることは非常にうまく書かれていると思います。
- gururinbus
- ベストアンサー率53% (8/15)
ausubahhaさんは0.99...をどのように定義されたものとしてとらえていますか？ 0.99…というのは、1の別の表記方法であるということは、納得されていますか？ >「x＜1のとき、xは１に限りなく近い値まで大きくできる」 とは、「どんな小さい正の数εを与えたとしても１－ε＜x＜1となる実数xが存在する」ということを言っているのですか？ >「x≦0.99...と同義」 日本語の意味がよく分かりません。 「同義」という言葉はausubahhaさんも質問文の後半で使っているように、A,Bをそれぞれ主張とするとき、「AとBが同義である」のように使う日本語だと思います。 だから、「x＜1とx≦1が同義」は(内容が正しいか間違っているかは別にして)意味が分かりますが、 「x≦0.99...と同義」は意味がわかりません。 「x≦0.99...と同義」をうまく解釈しようとすると「(～であるということが)x≦0.99...と同義」というように(～であるということが)という部分が省略されていると解釈するしかないと思うのですが、なにを省略しているんですか？
お礼
＞「x≦0.99...と同義」は意味がわかりません 言葉足らずで訳分からなくなってますね。すみません。「x＜1とx≦1が同義」という意味です。 「0.99...」というのがどうしても「1に限りなく近い値」という意味に思えてしまうんです。それならば「ｘ＜1⇔ｘ≦0.99...」ここで「1=0.99...」より「ｘ＜1⇔ｘ≦1」ではないかと考えたわけです。 「1=0.99...」であるとすれば、勿論「0.99...」は「1に限りなく近い値」という解釈は間違っていることになるんですけど、じゃあ「0.99...」という表記は何をどう解釈する為に用いるのだろうか？という疑問が浮かびます。 つまるところ「0.99...」がどのように定義されたものかがよく分かっていないということです。
補足
>>「x＜1のとき、xは１に限りなく近い値まで大きくできる」 感覚的には、x<1のとき ｘ＝0.9 ｘ＝0.99 ｘ＝0.999 ｘ＝0.99999999999999999999999999999999 これらはｘ＜1の範囲内にあります。では ｘ＝0.999......（9が無限に続く）のときも ｘ＜1の範囲内の値なのでは？と思ってしまうのです。
- koko_u_
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>うーん、それは「0.99.....」は実数とはいえない、ということでしょうか？ 逆だ。実数だから「どんどん近付く」などというモノではないという意味。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
この手の話は揉めそうなので、早々に手を引こう。 実数には「どんどん1に近付く数」などは存在しません。「数列が 1に収束する」というのはあります。 0.99… は数列 0.9, 0.99, 0.999, ... の「極限値」を表記しているのであって、数列そのものを表記しているのではありません。
お礼
うーん、それは「0.99.....」は実数とはいえない、ということでしょうか？ そうすると「1≠0.99...」ということにはならないんでしょうか？
- k-ken2007
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1＝0.99・・・・・とありますが0.99・・はあくまで0.99・・なので何処まで9が続いても1に近くなるだけで1にはなりません。1≒0.99・・ならわかります。x＜1はも1未満が範囲で絶対に1にはなりません。x≦1は1以上∞が範囲です
お礼
＞1＝0.99・・・・・とありますが0.99・・はあくまで0.99・・なので何処まで9が続いても1に近くなるだけで1にはなりません。1≒0.99・・ならわかります。 感覚的にはそうなんですけどね。しかし「1＝0.99...」の証明が現に為されていますので、だからこそこの質問が生じるわけなのですが。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
言葉遣いに翻弄されているだけです。 x が 1に限りなく近い値まで大きくできる。ということは逆に言えば 1にはできないということですね。 0.99… もなんだか 1に近付いているような気がしてしまいますが、実はただの 1 の別表記です。
お礼
>0.99… もなんだか 1に近付いているような気がしてしまいますが そう、そこなんです。どうしても1に近づいてる気ががするのです。しかし「1＝0.999...」は「1の別表記」であることを示すんですよね。 「1に限りなく近づく」ことを小数（のような表記）で捕らえることに問題があるのでしょうか。
お礼
>0.999......（9が無限に続く)とは「x<1を満たすxの中で、1に最も近い実数」と捉えているように思えます。 まさに仰るとおりです。やはり「『0.999...＝１』を理解できてない」ということですよね。 「ｘ＝0.999...以下９の続く桁数をいくら増やしてもそれが有限である限りｘ＜1である」しかし「ｘ＝0.999...以下９が無限に続く場合ｘ＝1である」というのが、正しいでしょうか。 この「いくら増やしても」というときに、その増やせる桁数に「限りは無い」のですからそれが「無限である」というように混同しているのだと思います。分かりづらくてすみません。