オイラーの公式に関係した対の数

質問

オイラーの公式e^(πi)=-1においてe^πに注目しe^π=y^xという方程式を考えた場合、この方程式を満足する数の組み合わせは何か共通な特殊な意味を持っているのでしょうか。この方程式で（π、e)は無限にある組み合わせの一つに過ぎなくなってしまうように思うのですが・・・

回答No.6

peeea

No.５です。
補足を読ませてもらって、質問者様の考え方が
なんとなく分かった気がします。

2^4 = 4^2　（= 16）のような関係が成り立つなら
2^4iと4^2iが等しくなるのではないか、ということでしょうか。

他には
3^4 = 9^2（= 81）
3^6 = 9^3（= 729）
などが同じ関係です。

これを一般的に書くと
(A^B)^C = A^(B*C)　です。
教科書にも載っていた記憶があります。

複素数でも成り立つので（参考URL）、
(A^B)^Ci = A^(B*C*i)とできるので
質問者様の考え方は正しいと言えると思います。

次に、e^π を考えますが、xという任意の実数を使用します。
e^π = (e^x)^(π/x)　　（= e^(x*π/x)）
そして虚数を入れると
e^πi = (e^x)^(πi/x)　となります。

質問内容の考えとしては、これでいいでしょうか？
ここまでの考え方で実際に解いていきます。

e^x　と　(π/x)　が出てきましたが、どちらかを別の形で
書きあらわすことが出来ればすごく面白いことになりますね。

指数をaという実数で表すには左側をx=π/aとします。
底がe^(π/a)となり、e^πi = (e^(π/a))^aと書けます。
これは今までの回答と同じ形です。

底をaという実数と表すにはx=ln(b)とします。
指数がπ/ln(b)となり、e^πi = b^(πi/ln(b))と書けます。
（ln(b)　は底がeの対数）
きれいな形とはいえないかもしれませんが、
別の形（に見える式）で書くとこのようになりました。

a=1やb=eの場合がオイラーの式ということになりますね。
美しい形とは言いがたいでしょうが、オイラーの式を
書き直した場合どのように成るかが解けて楽しかったです。

参考URL：

http://okwave.jp/qa2656053.html