高校数学１の順列の問題？を教えて下さい

質問

SHUDAIの6文字を全部使ってできる文字列をアルファベット順の辞書式に並べる。
1番目はADHISU、2番目はADHIUS、、、最後をUSIHDAという文字列とすると、
(1)110番目の文字列は何か？→解 AUIDSH
(2)文字列SHUDAIは何番目か？→解 549

考え方、立式の仕方を教えて下さい。
チャートの解説を見ても何で？？？という感じなのです。

回答No.4

Mell-Lily · ベストアンサー

【問題】

SHUDAIの6文字を全部使ってできる文字列をアルファベット順の辞書式に並べる。

(1)110番目の文字列は何か。
(2)文字列SHUDAIは何番目か。

【解答】

ADHISUの六つの文字の並び替えの、アルファベット順の並べ方は、
　A ⇔ 1, D ⇔ 2, H ⇔ 3, I ⇔ 4, S ⇔ 5, U ⇔ 6 … *
という対応を考えれば、123456の六つの数字の並び替えの、大きさ順の並べ方に置き換えて考えることができる。

(1)
まず、123456から165432までの数は、
　5P5=5×4×3×2×1=120
個ある。また、165234から165432までの数は、
　3P3=3×2×1=6
個ある。よって、順に数えていけば、
　120－165432
　115－165432
　114－164532
　113－164523
　112－164352
　111－164325
　110－164253
となるから、110番目の数は、164253である。ゆえに、*から、110番目の文字列は、
　AUIDSH … (Ans.)
である。

(2)
*から、SHUDAは、536214に対応する。ところで、
　123456～165432,213456～265431,312456～365421,412356～465321
の数は、それぞれ、
　5P5=5×4×3×2×1=120
個ある。よって、
　123456～465321
の数は、
　120×4=480
個ある。また、
　512346～516432,521346～526431,531246～536421
の数は、それぞれ、
　4P4=4×3×2×1=24
個ある。よって、
　123456～536421
の数は、
　480+24×3=552
個ある。よって、順に数えていけば、
　552－536421
　551－536412
　550－536241
　549－536214
となるから、536214、すなわち、SHUDAIは、
　549番目 … (Ans.)
の数である。

お礼

ありがとうございます
おぼろげにわかってきましたが…（×_×）

回答No.7

Mell-Lily

例えば、5番目にくる文字列を知りたい場合は、最初から一つずつ数えていけば、分かります。

　ADHISU,ADHIUS,ADHSIU,ADHSUI,ADHUIS,…

ところが、110番目にくる文字列を知りたい場合は、同じように最初から一つずつ数えていっても、分からないことはないのですが、非常に大変な作業になってしまいます。そこで、もう少し楽に分かる方法はないか考えてみましょう。

文字列の先頭の文字がAである文字列、すなわち、A〇〇〇〇〇という形の文字列の個数は、いくつでしょうか？これを求めるためには、D,H,I,S,Uという5つの文字の順列を考えればいいわけですから、求める個数は、

　5P5=5×4×3×2×1=120 [個]

ということになります。ところで、全ての文字列をアルファベット順に並べた時、文字列の先頭の文字がAである文字列以外の文字列は、すべて、この文字列（文字列の先頭の文字がAである文字列）より後ろに並ぶ筈です。ですから、全ての文字列をアルファベット順に並べた時、最初の120個の文字列は、この文字列（前述同様）であることになります。この文字列（前述同様）をアルファベット順に並べた時、一番最後にくる文字列は何でしょうか？それは、AUSIHDです。よって、120番目にくる文字列は、AUSIHDということになります。さて、AUSIHDの一つ前に並ぶ文字列は、何でしょうか？それは、AUSIDHです。このように、逆に数えていきますと、

　120番目にくる文字列 … AUSIHD
　119番目にくる文字列 … AUSIDH
　118番目にくる文字列 … AUSHID
　117番目にくる文字列 … AUSHDI
　116番目にくる文字列 … AUSDIH
　115番目にくる文字列 … AUSDHI
　114番目にくる文字列 … AUISHD
　113番目にくる文字列 … AUISDH
　112番目にくる文字列 … AUIHSD
　111番目にくる文字列 … AUIHDS
　110番目にくる文字列 … AUIDSH

ということになりますから、110番目にくる文字列は、AUIDSHであることが分かるわけです。最初から順に数えた場合は、数える文字列の個数は110個ですが、120番目にくる文字列を求めて、120番目から逆に数えた場合は、10個で済むわけです。

お礼

ありがとうございます。<(_ _)>
みなさんは、教科書の問題だけでよくわかりますねー。
中学の数学と違う感じで、困っています。
（×_×）

回答No.6

bunnosuke

【解答】
六文字全部の並べ方は、6！＝720で大丈夫だよね？
そしたら、この720文字が辞書のように並んでいると考えてください。

1番目は、文章中にもある通り、ADHISU。で、この続きをずーっと数えていったら朝になるので、大まかに分けて考えて見ます。最初だけ、計算のパターンを考えるために細かく書きます。

最初は、
　　　ADHISU
　　　　↓ }最初の4文字をADHIと固定、並べ方は1×1×1×1×2×1=2
　　　ADHIUS
　　　↓　
　　　ADHSIU
　　　↓　　}最初の4文字をADHSと固定、並べ方は1×1×1×1×2×1=2
　　　ADHSUI
　　　↓
　　　ADHUIS
　　　 ↓　 }最初の4文字をADHUと固定、並べ方は1×1×1×1×2×1=2
　　　ADHUSI

上の６コの並べ方は、最初の3文字をADHに固定した並べ方６種類で、計算の仕方は
1×1×1×3！＝6

このように、並べ方720文字を、文字の固定の仕方で分類すると以下のようになります。

　・720文字中―最初の頭1文字固定した物→→1×5！が6種類（A～Uの6C1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　
　　さらにもう１文字固定する　　　　　　　1×1×4！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　さらにもう1文字固定　　　　　　　　　　1×1×1×3！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　さらにもう1文字固定　　　　　　　　　　1×1×1×1×2！

固定する時に、アルファベット順に固定していくと、辞書だったら何番目にくるのかの計算が出来ます。（1文字固定なら、Aを固定した並べ方→Dを固定した並べ方→Hを固定した並べ方→・・・・・→Uを固定した並べ方、の順番で辞書に並んでいる。二文字固定の場合は、AD→AH→AI・・・となる。）

これを参考にして、今までの投稿読むと分かるんじゃないかな？

お礼

はい<(_ _)>
もうわかりました。
ありがとうございます。

回答No.5

oshiete_goo

『順列』のところをもう一度確認してみてはいかがでしょう.

3枚のカードa,b,cを1列に並べると,全部で何通りの並べ方があるでしょうか.
a,b,c
a,c,b
b,a,c
b,c,a
c,a,b
c,b,a
の６通りですね. これは１枚目が3通り, ２枚目が2通り, 最後は残った1通りなので3×2×1=6と計算できます. これは 3!(３の階乗[かいじょう])と表せます.

同様にa,b,c,dの４枚ならどうでしょう.
今度は全部数えるのは大変ですが,
１枚目の選び方が4通りあります. そして, 残った3枚の並べ方は,さっきと同様に3!=6通りあります.
結局, (4!=)4×3!=4×6=24通りです.

5枚なら,5!=5×4×3×2×1=120通りです.

このような考え方が分かれば, 回答や本に書いてあることはもっと理解できると思います.

お礼

はい、異なるn個のものからx個とって、一列に並べるのはnPxで、xPx＝x!
ですね。
そこまではわかります。教科書の問題もわかります。が、このことを使ってチャートについている問題を考えるにはどーしたらよいのでしょうか。

回答No.3

acacia7

!!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720

(1)110番目の文字列は何か？→解 AUIDSH

地道にといてみるとすると・・
まずアルファベット順にならべるとＡＤＨＩＳＵ
１１０は１２０より小さい・・ということは最初はＡが確定。のこりはＤＨＩＳＵ
２４で割ると４余り１４・・頭は４＋１で５番目のＵが確定。のこりはＤＨＩＳ
６で割ると２余り２・・頭は２＋１で３番目のＩが確定。のこりはＤＨＳ
２で割ると１余り０・・頭は１番目のＤが確定。のこりは後からＳＨ・・
でＡＵＩＤＳＨ・・つーのはちょっと地道過ぎかなぁ・・

(2)文字列SHUDAIは何番目か？→解 549

ＳＨＵＤＡＩは・・
Ｓが５番目、４＊１２０
Ｈが３番目（残りの３番目）、２＊２４
Ｕが６番目（残りの４番目）、（５－２）＊６
Ｄが２番目（残りの２番目）、１＊２
Ａが１番目（残りの１番目）、０
Ｉが４番目（残りの１番目）、０
で・・４８０＋４８＋１８＋２＝５４８・・・・・・あれ？・・（－－；
あ・・そか・・今の並びの前にある並びの数がこれか・・（＾＾；；；
ていうことで５４９です。
えぇ・・そうなんです。

お礼

ありがとうございます

しかし、何を言っているのか…(ノ_＜。)

回答No.2

oshiete_goo

＃1のmanukena_gooですが，
＞S*****は，120*4=480番目の次から最後まで(481～600番)．
これは一部ウソで，『480番目の次から600番まで』でした．訂正いたします．
全部で6!＝720個で，最後の120個はU*****ですね．

回答No.1

oshiete_goo

(1)5!=120 は切りがいいし，よく出て来るので覚えておいた方が良いです．
すると，110番目は．．．
まず文字をアルファベット順に並べると，A,D,H,I,S,U.

最初がAのものが(あと5文字を並べるから)5!=120個できるので，１文字目はA．

次は2文字目が　D,H,I,S,U　のものがそれぞれ(あと4文字の順列で)4!=24個できるから，D,H,I,Sまでで96個できて，2文字目は最後のU．

同様に，3文字目は残ったD,H,I,Sのどれが来てもそれぞれ3!=6個ずつできるので，
D,Hまでで96＋12＝108個できる．

すると109番目はAUI***　のうち最初のものだから，残りD,H,Sを考えて
109番目がAUIDHS,
110番目がAUIDSH.

ある程度近づいたら，書き並べることです．

(2)(1)の考察より，S*****は，120*4=480番目の次から最後まで(481～600番)．
すると，2文字目がA,D,H,I,Uの中のHで，AとDのものが24個ずつなので，480＋48＝528番目の次から始まる．

3文字目がA,D,I,Uの中のUで，各6個ずつできるから，528+6*3＝546番目の次, つまり547番目以降からの6個になる．

残りはA,D,Iの3個なので，書き上げると
547番目はSHUADI
548番目はSHUAID
549番目はSHUDAI

お礼

ありがとうございます。
でも…
よくわかりません(;^^)ヘ..