メビウスの帯の一族を縦に二分したときのねじれの数

質問

メビウスの帯を縦に二等分すると一本の輪になりますがこのとき半分の幅になった帯は全体で4回ねじれています。元の帯は1回しかねじれていないのにどうして4回もねじれてしまうのか不思議なのですがどのような理論があるのでしょうか。暇に任せて3回ねじったもの、5回ねじったものを同様に縦に二等分したものは、絡み方は別にして、それぞれ8回、12回ねじれているので二等分してできた新しい帯のねじれをＮとして始めの帯のねじれをｎとするとＮ＝２（ｎ＋１）という公式が想像されました。括弧の中の1が何処から出てくるのだろうと考えておりますが、トポロジーのほうでは常識なのかもしれないのでどなたか教えていただけますか。。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

実験してみました. 確かに 4回ですね.
多分, 切ったところができる帯の一方の端になるのでねじれの回数が増えるんじゃないでしょうか. つまり, 中央を切っているのでそこは「右端と左端」になるのが本来なんですが (ただの輪だとこうなっていますね), メビウスの輪などではできた帯の右端 (あるいは左端) にしかなりません. ということは, 途中のどこかでパリティが逆になるはずです. つまり, ねじれの回数としては奇数回の増減があることになります. この増減の回数を地道に追うと 1回になってるってことでしょうかねぇ.
しかし, 調べてみるものですね.... こんなのまで, ちゃんとあるんだ....

参考URL：

http://www.exo.net/~pauld/activities/mobius/mobiusdissection.html

お礼

ご高察の結果を教えていただきありがとうございました。また的確なサイトをご紹介していただきありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

あれ? 4回ねじれましたっけ? 2回のような気がするけど....

補足

私も2回だと思っていましたが実際自分で確認してみました。確かに4回です。なかなか実験的に確認するのも難しかったのですが、3回も5回も確認いたしました。申し上げるまでもありませんが質問欄で推測した公式のｎは奇数に限ります。偶数では幅が半分のものが二本からみ合ったものになってしまいます。偶数の場合は強いて公式とすればＮ＝２ｘｎとでも表すべきでしょうか。つまり奇数の場合は括弧の中が1だけ多くなるということになります。