• 締切済み

行列の分解不能性と逆行列の存在について

いま、数学の問題を解いていて困っています。お助け下さい。 ある行列Xが分解不能である     ならば Xには逆行列が存在する という関係は成立するのでしょうか。 もし、関係があるのであれば、 ・固有値の存在 ・Xが非負行列である などの条件との関連も教えてください。 よろしくお願いします。

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

ん~, やっぱり「分解不能」の定義がわからん....

komari-no
質問者

お礼

すいません。説明が下手というか、私自身がよくわかっていなくて。 もう少し考えてみようと思います。 ありがとうございました!!

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.1

まずは「分解不能」の定義を補足して下さい。

komari-no
質問者

補足

行列が書きづらいのですが、A、B、0、Cで1つの行列を なしていると見てください。0も行列です。 PをPermutation Matrix、P’をPの逆行列、AとCは正方行列として、         A B PXP’ =              0 C とあらわせる場合、Xは分解不能。 私、分解不能についてもよくわかってかもしれません。 お手数おかけしますが、よろしくお願いします。

関連するQ&A

  • 固有ベクトルの逆行列が存在しない?

    行列A= (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) の固有値と固有ベクトルを求める(ただし各固有ベクトルの最大の成分は1となるようにする) 問題なのですが, 固有値λ=-1(重解),2 と求め 固有ベクトルをそれぞれ x=(x1,x2,x3)=(1,-1/2,-1/2),(1,1,1) と求めたのですが, 対角化行列P= (1,1,1) (1,-1/2,-1/2) (1,-1/2,-1/2) の行列式が0になってしまいPの逆行列が存在しないことになってしまいます。 これはどこかで計算ミスをしているのでしょうか? それとも固有ベクトルに逆行列が存在しないことはあるのでしょうか? 自分ではこれ以上見直しても分からないので 教えてくださると助かります。

  • 逆行列は存在するの?

    Aの逆行列をA(-1)と表してみます。 高校生のとき不思議だったのが、   A、Bに逆行列が存在するとき、    (AB)(-1)=B(-1)A(-1) という性質でした。これ自体に疑問を持ったのではなく、ABの逆行列の存在を無条件に受け入れている様に思うからです。だって、=で結ばれているということは右から左に変形できてもよさそうじゃないですか。 そこで質問ですが、この状態でABという行列の逆行列は必ず存在するのでしょうか。高校の先生は「うーん。これは、左辺は右辺の計算をすれば出てくるという式だ」というだけで、私には理解できませんでした。分かりやすく教えてください。

  • 逆行列が存在する条件

    行列Mについて、 「M>0であれば、Mの逆行列が存在する(Mの行列式はゼロではない)」 と言われたのですが、本当ですか? まず、M>0とは、Mの全ての要素がプラスである、ということを意味するのでしょうか? 行列式がゼロでなければMの逆行列が存在する、というのは聞いたことがあったのですが、 それはM>0である、ということと同じなのでしょうか? 数学オンチですみませんが、よろしくお願いします。。

  • 右逆行列の存在証明

    線形代数で行列の「正則」で悩んでいます。 手持ちの線形代数の本ではどの本も 「正則」の「定義」が 正方行列 A に対して XA = AX = E(単位行列) となる X が存在する場合 A は「正則」である。 と定義し、これを出発点として様々な定義を導いています。 これはこれでよいのですが、しかし、よく考えてみると 1) XA=E が存在する場合 A は正則とする(左逆行列による正則の定義) 2) XA=E が存在する場合AX'=E が存在する(右逆行列の存在定理) 3) X = X' (左逆行列 と 右逆行列の同一性の定理) というように、定義は基本的な定義と2個の定理に 分解できるような気がします。 定理なら証明が必要と思い、いろいろ考えてみたのですが、 1),かつ2) ⇒ 3) は XAX' = X = X' なので簡単なのですが、 2) をどうしても証明できません。 そもそもこのような定義から出発するのは間違っているのでしょうか? また、2)の証明が載っている参考書はありませんでしょうか? 以上よろしくお願い致します。

  • 2x3行列の逆行列の公式

    数学にあまり詳しくないものです。 ある問題の解法を解析し、3x3逆行列で解いているのまで分かりました。 その問題から1行少ない、2x3逆行列を解きたいと思っています。 ネットで調べても、3x3は容易に出てくるのですが2x3が出てきません。 2x3の公式をご教授いただけますでしょうか。

  • すみません。行列式のLU分解について質問なんですが。

    すみません。行列式のLU分解について質問なんですが。 ある行列式AをLU分解するまではいいのですが、その後、どうやって固有値を求めたらいいのでしょうか? QR分解で求める方法の方が効率が良いのはわかっているのですが、気になるので、教えてもらえたら幸いです。 あと、あまり数学が得意でないので、噛み砕いて説明していただけるとほんと助かります。

  • ある行列とその転置行列の積の逆行列は?

    今エクセルで行列を使って問題を解いています。 問題は 行列X、A、Yがあり、Xは1行4列、Aは1行2列、Yは1行4列です。 X・A=Y という式があり、Aの行列は未知数a,bの要素からなっています。 X,Yはそれぞれ数値として要素が決まっています。 ここからはヒントとして表示されていました。 そこでXの逆行列を両辺の左からかけるとAは求まるはずですが、 Xは正方行列ではないので、Xの転置行列を左からかけます。 X(T)・Xは正方行列になるのでこれを行列Pとおくと Pの逆行列を求められ、右辺にP^-1をかけるとAが求まる。 というものです。 エクセルで書かれている通りにやってみて、エラーになるので調べてみると、XとXの転置行列の積の行列式は要素にかかわらず0になるようです。 実際に数値ではなく、abcdでやってみたところ0のようです。 この場合、逆行列は存在しないのではないかと思いますが、このヒントが間違っているとはあまり思えず、困っています。 補足ですが、この問題は最小二乗法をエクセルで行列を用いて行うという趣旨です。 もとのデータとして(x、y)の座標が4点与えられており、行列Xはxの要素を縦にならべたもの、Aは最小二乗法で求める一次関数式のパラメーターa,bで、YはXと同様座標のy要素です。 私の理解が間違っていて、何行何列という部分に誤りがあるなどの指摘があれば、ぜひお願いいたします。 そもそもある行列とその転置行列の積の逆行列は存在するのかどうかもお願いします。 締め切りが近く、ちょっとあせっています。 よろしくお願いします!!

  • 一般化逆行列と最小二乗法

    最小二乗法は割と簡単に理解することができますし、式の誘導も簡単ですが、分数が出てきたら分母がゼロでないとか、逆行列が存在するとか理想的な条件を仮定しているように思います。そこでその理想的な条件が存在しない場合、すなわち逆行列が存在しない場合、”一般化逆行列を用いて計算する”とサラリと書いてある本がありました。データ解析ソフトRなどもそれに対応しているかもしれません。一般化逆行列というのはすんなり受け入れられるものでしょうか。何か別の指標があってそれを最小化するとか何らかのペナルティとか損失を甘受した上で計算していると思うのですが、いきなりピンチヒッターとして出てくることができるみたいに書いてありました。数理統計の本には共線性がある場合とか行列式が極めて小さな値になるとかの場合に出てくるようです。少し読んでみると固有値・固有ベクトル(正規直交行列を構成)で行列を展開したもののような記述もあり、これはこれで普通のことのように思うのですが。一般化逆行列とはどのようなものだと思えばいいでしょうか。

  • 逆行列(LU分解)を求める数値的なテクニック

     ある行列の逆行列をLU分解で求めるプログラムを使用しています。その行列の成分の大きさの最大値と最小値の差が10の30乗ほどあります。コンピュータで計算する場合、極端に大きな数字や小さな数字のまま計算すると正しく計算できないことがあります。AA-1=Eなので、行列の各成分をX倍すれば、求めたい逆行列A-1のX倍の逆行列が求まります。これをX分の1にすれば、求めたい逆行列を求めることができます。  すなわち、各成分の値がコンピュータで処理するのに適していない場合、ある種の補正によって、計算が可能となり、出てきた逆行列はその補正とは反対の操作をすることで求めたい逆行列を求めることができます。  そこで質問です。  コンピュータで逆行列を計算するのに適した行列の成分の値の大きさはいくつ程度でしょうか。  またその適した値にするテクニックとしてはどのようなものがあるでしょうか。

  • 数学の行列式の問題をおしえてください。

    数学の行列式の問題をおしえてください。 数学の認定試験の過去問をやってるのですが、線形代数学がさっぱり覚えていません。 昔勉強に使っていたノートやプリントが無くなってしまってお手上げ状態です。 分かる方いましたら、よろしくお願いします。 問題は3次の正方行列について次の問に答えよ A=-1 2 1 0 3 1 0 0 2 (1)行列Aの行列式を求めよ (2)行列Aの固有値をすべて求めよ。 (3)行列Aの固有ベクトルをすべて求めよ 以上の3問です。 (1)についてですが、確か1列目の先頭が「1」で以下のものが「0」である時、式を分解できたような気がするんですが、あってますかね.. (-1)| 3 1 |     | 0 2 | たすき掛けをして、(-1)*6=-6 これで(1)はあってるでしょうか? この自分の解答だと1行目の「2」と「1」が他の数字だったとしても、同じ回答になってしまうため、自分の解答に自信がありません。 (2)ですが 固有値を求める時は対角行列の値が1である場所をxとして、それを行列Aから引いた式=0になるようなxを求めたと思うんですが、以下の式を作った後の操作が分からず手詰まり状態です。 |x+1 -2 -1| |0 x-3 -1| =0 |0 0 x-2| 2*2の行列式ならxについて解けそうなんですが、3*3の行列 どうすれば、xを求められるんでしたっけ? (3)ですが、(2)で求めた固有値を使って求めたと思うんですが、正直よく覚えていません。 (QEーA)x=0になるような式があったような気がしますが... ほとんど、丸投げ状態で申し訳ありませんが、ご協力よろしくお願いします。