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オイラーの公式が生まれる発想の原点は?
ringouriの回答
- ringouri
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「オイラーの公式」に関しては、吉田武 氏の『オイラーの贈物』という素晴らしい啓蒙書がありますね。 この問いには幾つかの回答があるように思います。 論理的には、No.1さんのご指摘の通り、複素数の直交座標表示と極座標表示の関係から発想されたとするのが自然です。 ただし、歴史的には、そのような理解が自然と思えるようになるのは、複素平面と複素数の関係が理解され普及してからのことです。オイラーの時代(18世紀中頃)には、複素平面と複素数との関係は必ずしも現代のように理解されていた訳ではないので、オイラーの発想源は、もう少し違ったところにあったかと思います。 オイラー以前に「オイラーの公式」と同様な内容を考えていた数学者は複数いますが、オイラーの全集を見る限り、彼は無限級数の各項比較からヒントを得たようです。(オイラーは、無限級数の収束性を気にせずに、形式的にいろいろな代入を行ない、そこから新しい関係式を導く「発見的推論」の天才でした。) これは、現代でも、exp(x) [ただしxは実数]の冪級数展開式(定義式?)において xを形式的にiθに置き換えて、「オイラーの公式」を導出するという説明の仕方が普及しているように、分かりやすいです。 過去に数学の世界では「冪級数」あるいは「無限級数」(収束性が不明な場合も含めて)が、今我々が想像する以上に、考え方の基礎になっていたのでしょう。
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