オイラーの公式が生まれる発想の原点は？

質問

オイラーの公式

exp（iθ）＝cosθ＋isinθ　はどのような発想から生まれたのでしょうか？

自然対数の底と三角関数を結びつけた非常にユニークな公式と思います。この公式が生まれる発想の原点は何だったのでしょうか？　今高校レベルの複素数を独習していますー現指導要領では範囲外ですが…。そこでこの公式が取り上げられていました。

宜しくお願いします。

回答No.4

ringouri

「オイラーの公式」に関しては、吉田武 氏の『オイラーの贈物』という素晴らしい啓蒙書がありますね。

この問いには幾つかの回答があるように思います。

論理的には、No.1さんのご指摘の通り、複素数の直交座標表示と極座標表示の関係から発想されたとするのが自然です。
ただし、歴史的には、そのような理解が自然と思えるようになるのは、複素平面と複素数の関係が理解され普及してからのことです。オイラーの時代（18世紀中頃）には、複素平面と複素数との関係は必ずしも現代のように理解されていた訳ではないので、オイラーの発想源は、もう少し違ったところにあったかと思います。

オイラー以前に「オイラーの公式」と同様な内容を考えていた数学者は複数いますが、オイラーの全集を見る限り、彼は無限級数の各項比較からヒントを得たようです。（オイラーは、無限級数の収束性を気にせずに、形式的にいろいろな代入を行ない、そこから新しい関係式を導く「発見的推論」の天才でした。）

これは、現代でも、exp(x) [ただしｘは実数]の冪級数展開式（定義式？）において ｘを形式的にiθに置き換えて、「オイラーの公式」を導出するという説明の仕方が普及しているように、分かりやすいです。

過去に数学の世界では「冪級数」あるいは「無限級数」（収束性が不明な場合も含めて）が、今我々が想像する以上に、考え方の基礎になっていたのでしょう。

お礼

回答有り難うございました。

＞「オイラーの公式」に関しては、吉田武 氏の『オイラーの贈物』という素晴らしい啓蒙書があります

聞いたこと有ります。私もかつて読もうとしたことがあったと記憶しています。結構大部の本でしたよね。それで断念した思い出が…

＞複素平面と複素数との関係は必ずしも現代のように理解されていた訳ではないので、オイラーの発想源は、もう少し違ったところにあったかと思います
＞オイラーは、無限級数の収束性を気にせずに、形式的にいろいろな代入を行ない、そこから新しい関係式を導く「発見的推論」の天才でした

この公式も、多くの「発見的推論」の一つに過ぎなかったのかも。だとしても本当にすばらしい公式を残してくれましたね。まさしく後世の我々にとって『オイラーの贈物』ですね。

有り難うございました。

回答No.3

noname#101087

#2 です。
せっかくの機会です。WEB 検索してみました。

　http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula
>Euler's formula / History

これを信じるなら、Euler は中継ランナーだったみたいです。
複素平面上での表示をしたのは、後続ランナーの Caspar Wessel だとか。

回答No.2

noname#101087

個人的には「マクローラン展開」が最も説得的です。
オイラーはどうして見つけたのか、真相を知りたいですね。

お礼

早速回答有り難うございます。

＞個人的には「マクローラン展開」が最も説得的です

証明はマクローリン展開を見れば一目瞭然、成立していることが分かりますね。異質な両者を等号関係で結んでいるこの公式は他の公式とは異なる特別な物に感じます。　

例としてアインシュタインの有名な公式　E=mc＾２　（エネルギーと質量という異質な物を結びつけています）　に相通ずる物を感じてしまいます。

有り難うございました。

回答No.1

kaaaiii

複素数表示から極座標表示に直す手法として生まれたのだと思います。

たとえば 1+i は、
1+i
=√2 (1/√2 + i/√2)
=√2 (cos45 + isin45)
=√2 exp(i45)
と表せます。

お礼

早速回答いただき有り難うございます。

オイラーの公式は物理学ではそれこそ無限の応用を見せてくれます。その公式の原点は　「複素数表示から極座標表示に直す手法」　というきわめてシンプルなものだった…　どんな大河も源流はしずく一滴ということを示しているのかも知れませんね。

有り難うございました。