整数

質問

(17＾50)は62桁の整数である。17＾24は●桁の整数という問題で
求める時
61≦log(10)17＾50<62
というのは公式ですか？

回答No.5

Mr_Holland · ベストアンサー

ある数ｘの桁数を求める場合、その常用対数をとって
　　n ≦ log_10(x) ＜ n+1　　（n=0,1,2,3,・・・）　　　・・・・☆
となるｎを見つけると、ｘの桁数は(n+1)桁になります。

　例えば、ｘ＝９８のとき、その常用対数は
　　log_10(98)
　＝log_10(7^2*2)
　＝2*log_10(7)+log_10(2)
　＝2*0.845+0.301　　（対数表より）
　＝1.991
となりますので、
　　1 ≦ log_10(x) ＜ 2
という関係が成り立ち、98が2桁の数字であることが分かります。

　さて、この問題の場合、対数表が与えられていませんので、「(17＾50)は62桁の整数である」ということから読み取らなければなりません。
　それを上の☆の関係から導きます。

　　61 ≦ log_10(17^50) ＜ 62
　　61 ≦ 50*log_10(17) ＜ 62
　　61/50 ≦ log_10(17) ＜ 31/25　　　・・・・（A)

　ここで、17^24の常用対数を求めます。
　　log_10(17^24)
　＝24*log_10(17)
　上の式（A)の関係から、
　　24*61/50 ≦ 24*log_10(17) ＜ 24*31/25
　　29.28 ≦ 24*log_10(17) ＜ 29.76
　∴29 ≦ log_10(17^24) ＜ 30
という関係が導き出されますので、17^24　は30桁だということが分かります。

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.4

sanori

再び失礼します。

最後の部分に加筆します。

-------------

ということは、
６１＜log(10)１７＾50＜６２
ということは、
１０^61 ＜ １７^50 ＜ １０^62
つまり、
「１の後ろにゼロ６１個の数」＜ log(10)１７＾50 ＜「１の後ろにゼロ６２個の数」

つまり、
１７^50 は、「１の後ろにゼロ６１個の数」と「１の後ろにゼロ６２個の数」との間にあります。

ということは、１７^50 は６２桁の数ということが分かります。

回答No.3

sanori

特に公式ということではありませんが、下記のような考え方です。

log(10)１０＝１
log(10)１００＝２
log(10)１０００＝３

つまり、

log(10)１の後ろにゼロ１つの数＝１
log(10)１の後ろにゼロ２つの数＝２
log(10)１の後ろにゼロ３つの数＝３
・・・
log(10)１の後ろにゼロ６０個の数＝６０
log(10)１の後ろにゼロ６１個の数＝６１
log(10)１の後ろにゼロ６２個の数＝６２
log(10)１の後ろにゼロ６３個の数＝６３

そして、
log(10)１７＾50 ＝ ６１．５２・・・

ということは、
６１＜log(10)１７＾50＜６２
つまり、
１７^50 は、「１の後ろにゼロ６１個の数」と「１の後ろにゼロ６２個の数」との間にあります。

ということは、１７^50 は６２桁の数ということが分かります。

回答No.2

kabaokaba

「10を底とする対数」の定義を考えれば
任意の正の数 X に対して
X = 10^(log(X))
となります．
そして，10進数で N 桁の数というのは
10^{N-1} 以上で，10^N 未満の数です．

こんなのまで公式として覚えてたら
覚えるものが多すぎてパンクします．

回答No.1

fukuda-h

公式といわれれば公式にしてもいいですが
簡単な例を考えると
３桁の整数ｎを考えます。最小の整数は100最大の整数は999
だから100≦ｎ＜1000.10^2≦log(10)n<10^3
この指数部分に注目すると３桁で2と3ですね。
これからｋ桁の整数はｋ-1≦log(10)n<ｋ
がすぐに導かれます。
覚え方は10^nは０がｎ個並んでその頭に1があるのでn+1桁
これを覚えた方がいいでしょうね
もっと簡単に１０００すなわち10^3を書いてみたらどうでしょうか？？