C_k={x;2-1/k<x≦3},(k=1,2,3,…)とする時,lim[k→∞]C_kとP_X(lim[k→∞]C_k)を
宜しくお願い致します。確率集合関数なるものについて質問です。
====問題====
P_X(C)=∫_C e^-xdx (但しC={x;0<x<∞})を確率変数Xの確率集合関数とせよ。
C_k={x;2-1/k<x≦3},(k=1,2,3,…)とする時,lim[k→∞]C_kとP_X(lim[k→∞]C_k)を
求めよ。
P_X(C_k)とlim[k→∞]P_X(C_k)=P_X(lim[k→∞]C_k)を求めよ。
=============
lim[k→∞]C_k={x;2<x≦3}
P_X(lim[k→∞]C_k)=∫[2～3]e^-xdx=[-e^-x]^3_2=-e^-3+e^-2
P_X(C_k)=∫[2-1/k～3]e^-xdx=[-e^-x]^3_(2-1/k)=-e^-3+e^(1/k-2)
と解いてみたのですが正しいでしょうか?
あと、lim[k→∞]P_X(C_k)=P_X(lim[k→∞]C_k)はどうやって求めればいいのでしょうか?
因みに確率集合関数なるものは調べてみましたら
「関数Pが、次の3つの公理を満たす時、確率集合関数と呼ぶ。すなわち基礎空間Ωの
部分集合Eに対する3つの条件が確率の公理である。
(1)P(E)≧0
(2)P(Ω)＝1
(3)P(E_1ＵE_2ＵE_3・・・)＝P(E_1)＋P(E_2)＋P(E_3)＋・・・
ただし、ここでE_1,E_2,E_3,・・・は互いに排反な事象である。すなわち任意のi≠jに
対して、E_i∩E_j＝空集合φである」
というものです。
お礼
早速の回答ありがとうありがとうございます。